Αλλολογία

KARKAR · #1

: Αλλολογία.png (20.4 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Το σημείο

διαιρεί την διάμετρο

ενός κύκλου σε τμήματα AT = 7 , TB = 3

.

Από το

διέρχεται χορδή

. Για ποια θέση της

, είναι :

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 23, 2025 8:46 pm
Αλλολογία.pngΤο σημείο διαιρεί την διάμετρο ενός κύκλου σε τμήματα .

Από το διέρχεται χορδή . Για ποια θέση της , είναι : ;

Από τα όμοια τρίγωνα ANT, TSB

έχουμε $\dfrac {NT}{3}=\dfrac {7}{TS}=\dfrac {AN}{BS}=2$ . Άρα $NT=6, TS=\dfrac {7}{2}$ . Άρα το

είναι στο άνω ημικύκλιο σε απόσταση

από το

, και το

στην προέκταση της

.

Aν θέλουμε να περιγράψουμε την θέση του

με χρήση γωνιών, συνεχίζουμε: Αν

το κέντρο του κύκλου, τότε από το τρίγωνο ONT

που έχει $ON=10/2=5,\, NT=6, \, OT=5-3=2$ έχουμε

$\cos \widehat {NOT}= \dfrac {5^2+2^2-6^2}{2\cdot 5 \cdot 2}= -\dfrac {7}{20}$ . Δίνει $\widehat {NOT} \approx 110,48^o$

KARKAR · #3

: Αλλολογία.png (20.4 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Συμπληρωματικά ερωτήματα : Υπολογίστε την χορδή

και το λόγο : $\dfrac{AS}{NB}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 23, 2025 10:02 pm
Συμπληρωματικά ερωτήματα : Υπολογίστε την χορδή και το λόγο : $\dfrac{AS}{NB}$ .

Και τα δύο είναι άμεσα: Αφού $\cos \widehat {NOT}= -\dfrac {7}{20}$ , η παραπληρωμάτική της είναι $\cos \widehat {NOA}= \dfrac {7}{20}$ . Άρα από το τρίγωνο OAN

είναι

$AN = \sqrt {5^2+5^2-2\cdot 5 \cdot 5 \cdot \dfrac {7}{20}}= \dfrac {1}{2} \sqrt {130}$ .

Το δεύτερο ερώτημα, τετριμμένο: Από τα όμοια τρίγωνα ATS, NTB

είναι $\dfrac{AS}{NB} = \dfrac{AT}{NT}=\dfrac{7}{6}$

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 23, 2025 10:02 pm
Αλλολογία.pngΣυμπληρωματικά ερωτήματα : Υπολογίστε την χορδή και το λόγο : $\dfrac{AS}{NB}$ .

Από την ομοιότητα των $\vartriangle TNA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TBS$ ο Κ. Λάμπρου υπολόγισε άμεσα , $NT = 6\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS = \dfrac{7}{2}$ . Θέτω $DO = x\,\,$ ,

το ύψος , ND = y

, του $\vartriangle NAB$ και το BS = k

, άρα

. Από το Π. Θ. στα , $\vartriangle DON\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle DTN$ έχω:

: Αλλολογία.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 25 \hfill \\ {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 36 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{7}{4}}$ οπότε από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle NAB$ έχω , $4{k^2} = 10\left( {5 - x} \right) = 10\left( {5 - \dfrac{7}{4}} \right) \Rightarrow 2k = \boxed{\dfrac{{\sqrt {130} }}{2} = AN}$

Τέλος , $\boxed{\dfrac{{AS}}{{NB}} = \dfrac{{AT}}{{NT}} = \dfrac{7}{6}}$ .

Αλλολογία

Αλλολογία

Re: Αλλολογία

Re: Αλλολογία

Re: Αλλολογία

Re: Αλλολογία

Μέλη σε σύνδεση