Εμβαδόν από πλευρές

KARKAR · #1

: Εμβαδόν από πλευρές.png (12.09 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου ABCD

, με πλευρές : a , b , c , d

( βάσεις οι b, d

) .

Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : a=5 , b= 3 , c=6 , d=9

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 26, 2026 7:54 pm
Εμβαδόν από πλευρές.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου , με πλευρές : ( βάσεις οι ) .

Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : .

: Εμβ τραπ.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές

.
Φέρνουμε CM||AB

. Τότε

(*).

Το CMD

έχει πλευρές a,c,d-b

, οπότε από τον τύπο του Ήρωνα $(CMD)=\sqrt {s(s-a)(s-c)(s-d+b)}$ όπου $s= \dfrac {1}{2}(a+c+d-b)$ .

Σημειώνουμε ότι επίσης είναι $(CMD)= \dfrac {1}{2} (d-b)h$ , οπότε $h= \dfrac {2(CMD)} {d-b}$ .

Επίσης είναι $(ABCM)= bh= \dfrac {2b(CMD)} {d-b}$

Τελικά η (*) γράφεται

$(ABCD)= (ABCM)+(CMD) = \dfrac {2b(CMD)} {d-b} + (CMD)= \dfrac {(CMD)(d+b)} {d-b} = \boxed {\dfrac {(d+b)\sqrt {s(s-a)(s-c)(s-d+b)} } {d-b} }$

Παραλλαγή: Αφού βρήκαμε το

συναρτήσει των πλευρών, έχουμε $E= \dfrac {1}{2} (b+d) h$ και λοιπά, όπως πριν.

Στο αριθμητικό παράδειγμα (απλή αντικατάσταση στα παραπάνω) είναι $E=\dfrac {5}{2}\sqrt {119}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 26, 2026 7:54 pm
Εμβαδόν από πλευρές.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου , με πλευρές : ( βάσεις οι ) .

Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : .

: Εμβ τραπ 2.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές

.
Προεκτείνουμε τις πλάγιες μέχρι να τμηθούν στο

.

Από Θαλή είναι $\dfrac {x}{b} = \dfrac {x+a}{d}$ , άρα

$x= \dfrac {ab}{d-b}$ και όμοια $y= \dfrac {cb}{d-b}$

To τρίγωνο KBC

έχει πλευρές $x,\, y, \,b$ οπότε από Ήρωνα το εμβαδόν του είναι $\sqrt {t(t-x)(t-y)(t-b)}$ όπου $t = \dfrac {1}{2}(x+y+b)$

Όμοια το KAD

έχει πλευρές $x+a, \, d, \, y+c$ οπότε βρίσκουμε από Ήρωνα το εμβαδόν του.

Τέλος E= (KAD)-(KBC)

, που με αντικατάσταση οδηγεί στο ίδιο τελικό αποτέλεσμα με πριν.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 26, 2026 7:54 pm
Εμβαδόν από πλευρές.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου , με πλευρές : ( βάσεις οι ) .

Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : .

Αν

το μέσο του

, η

τέμνει την

στο

. Φέρνω και την παράλληλη από το

στη

Και τέμνει την

στο

. Το εμβαδόν που θέλω είναι το $\left( {BAE} \right) = \left( {ABCD} \right)$ $\left( 1 \right)$

Από το πρώτο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle MZE$ με $MZ = \dfrac{a}{2}\,\,\,,\,\,ME = x\,\,\,,\,\,MD = m = \dfrac{c}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZE = 2k = 2b$ προκύπτει :
.

: Εμβαδόν απο πλευρές.png (22.67 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

.
$x = \dfrac{{\sqrt {2\left( {4{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}{2}\,\,\,\left( 2 \right)$ . Τώρα μπορώ να υπολογίσω το $\left( {BAE} \right)$ , π. χ . με τον τύπο του ¨Ήρωνα ,οπότε λόγω της

$\left( 1 \right)$ έχω το εμβαδόν που θέλω . Ειδικά με τα δοθέντα νούμερα προκύπτει το $\vartriangle BAE$ ορθογώνιο στο

.

Έχω έτσι : $\left( {ABCD} \right) = \left( {BAE} \right) = \dfrac{1}{2}AB \cdot BE = AB \cdot ME = xAB = 5\dfrac{{\sqrt {119} }}{2}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 26, 2026 7:54 pm
Εμβαδόν από πλευρές.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου , με πλευρές : ( βάσεις οι ) .

Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : .

$\displaystyle E = \frac{{b + d}}{2}h$ ΚΑΙ $\displaystyle \sqrt {{a^2} - {h^2}} + b + \sqrt {{c^2} - {h^2}} = d,$ απ' όπου βρίσκω

: Εμβαδόν από πλευρές.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

$\displaystyle h = \frac{{\sqrt {4{c^2}{{(d - b)}^2} - {{({b^2} + {c^2} + {d^2} - {a^2} - 2bd)}^2}} }}{{2|d - b|}}$ και με αντικατάσταση παίρνω τον τελικό τύπο:

$\boxed{E = \frac{{b + d}}{{4|d - b|}}\sqrt {4{c^2}{{(d - b)}^2} - {{({b^2} + {c^2} + {d^2} - {a^2} - 2bd)}^2}} }...$ και για την εφαρμογή $E=\dfrac{5}{2}\sqrt{119}.$

Με λίγη περαιτέρω ανάλυση (διαφορά τετραγώνων κλπ) ο τύπος γίνεται:

$\boxed{E = \frac{{b + d}}{{4|d - b|}}\sqrt {(a + c + d - b)(c + d - b - a)(a + b + c - d)(a + d - b - c)} }$

Εμβαδόν από πλευρές

Εμβαδόν από πλευρές

Re: Εμβαδόν από πλευρές

Re: Εμβαδόν από πλευρές

Re: Εμβαδόν από πλευρές

Re: Εμβαδόν από πλευρές

Μέλη σε σύνδεση