Εφαπτόμενες Μονοτονία

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \sin x }$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{ [0,\pi ] }$ .
α. Έστω $\displaystyle{ x_1 \in \,[0,\frac{\pi }{2}) }$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{ x_2 \in \,[0,\pi ] }$ , τέτοιο ώστε ο άξονας χ΄χ και οι εφαπτομένες της $\displaystyle{ C_f }$ στα σημεία $\displaystyle{ A(x_1 ,\,f(x_1 )) }$ και $\displaystyle{ B(x_2 ,\,f(x_2 )) }$ δημιουργούν ισοσκελές τρίγωνο με βάση πάνω στον χ΄χ.
β. Έστω $\displaystyle{ x_1 \in \,[0,\frac{\pi }{2}) }$ . Να αποδείξετε ότι το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου του α) ερωτήματος (το μήκος του) βρίσκεται στο διάστημα $\displaystyle{ (1,\frac{\pi }{2}] }$ .

γ.Ορίζουμε την συνάρτηση $\displaystyle{ g:R \to R }$ με $\displaystyle{ g(x) = e^{x - a} }$ όπου $\displaystyle{ \frac{\pi }{2} - \ln \frac{\pi }{2} < a < \frac{\pi }{2} }$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{ x_3 ,\,x_4 \in \,[0,\pi ] }$ , ώστε οι εφαπτόμενες της $\displaystyle{ C_f }$ στα $\displaystyle{ (x_3 ,\,f(x_3 )),\,\,\,(x_4 ,\,f(x_4 )) }$ δημιουργούν ισοσκελές τρίγωνο με βάση πάνω στον χ΄χ και κορυφή πάνω στην $\displaystyle{ C_g }$ .

gradion · #2

1)α)για κάθε $x_1\in [0,\pi/2)$ υπάρχει $x_2=\pi-x_1 :$

αν φέρουμε τις εφαπτόμενες στα x_1,x_2

αυτέ ς τέμνονται πάνω στην $X=\pi/2$

Aς δούμε γιατί . Οι εφαπτόμενες στα $x_1,x_2 : y-sinx_1=cosx_1(x-x_1) (1), y-sinx_2=cosx_2(x-x_2)\Rightarrow$

$\Rightarrow y-sin(\pi-x_1)=cos(\pi-x_1)[x-(\pi-x_1)] (2)$

και επειδή έχουμε ισοσκελές τρίγωνο $x_1=\pi-x_2$ που ισχύει ,(παρά την βάση γωνίες ίσες)

Eπίσης για κάθε x_1

το

,είναι μοναδικό γιατί η συνάρτηση $y=\pi-x$ είναι γν.φθίνουσα.

2)β)Aν σε κάποια εφαπτομένη βάλω οπου $x=\pi/2$ τότε $y-sinx_1=cosx_1(\pi/2-x_1)\Rightarrow$

θέτω $g(x)=sinx+(\pi/2)cosx-xcosx,x\in [0,\pi/2), g{'}(x)=sinx(x-\pi/2)<0, g \searrow , g(A)=(\lim_{x\to \pi/2},g(0)]=(1,\pi/2]$

Εφαπτόμενες Μονοτονία

Εφαπτόμενες Μονοτονία

Re: Εφαπτόμενες Μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση