Σε τυχαίο τετράπλευρο

kostas136 · #1

Έστω κυρτό τετράπλευρο $\displaystyle ABCD$ και $\displaystyle K\ ,\ L\ ,\ M\ ,\ N$ τα μέσα των $\displaystyle AB\ ,\ BC\ ,\ CD\ ,\ DA$ αντίστοιχα. Να βρείτε τον λόγο:

$\displaystyle \frac{AC^2+BD^2}{KM^2+NL^2}$

#2

kostas136 έγραψε:Έστω κυρτό τετράπλευρο $\displaystyle ABCD$ και $\displaystyle K\ ,\ L\ ,\ M\ ,\ N$ τα μέσα των $\displaystyle AB\ ,\ BC\ ,\ CD\ ,\ DA$ αντίστοιχα. Να βρείτε τον λόγο:

$\displaystyle \frac{AC^2+BD^2}{KM^2+NL^2}$

Αφού δεν έκαναν τον κόπο οι μαθητές...

: Σε τυχαίο τετράπλευρο.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Το

είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει AC=2NM

και

.
Οπότε:

(1)

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου. Από Θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο NKM

έχουμε:

$\displaystyle{N{M^2} + N{K^2} = 2N{O^2} + \frac{{K{M^2}}}{2} = \frac{{N{L^2}}}{2} + \frac{{K{M^2}}}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\left( {N{M^2} + N{K^2}} \right) = K{M^2} + N{L^2}}$ (2)

Από (1) και (2) $\displaystyle{A{C^2} + B{D^2} = 2\left( {K{M^2} + N{L^2}} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{{K{M^2} + N{L^2}}} = 2}$

Σε τυχαίο τετράπλευρο

Σε τυχαίο τετράπλευρο

Re: Σε τυχαίο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση