Σχέση ριζών τριωνύμου

#1

Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{\,\,\,\,f(x) = a{x^2} + bx + 1\,,\,\,\,\,\,\,x,a,b \in R\,\,\,\,\,}$ , για το οποίο ισχύει : $\displaystyle{\,\,\,4a < \,\,{b^2} < b|a| + 2{a^2}\,\,}$
Να δείξετε ότι έχει δυο διαφορετικές πραγματικές ρίζες $\displaystyle{\,\,\,{x_1},{x_2}\,\,}$ , για τις οποίες ισχύει : $\displaystyle{\,\,\,||{x_1}| - |{x_2}|| < 2\,\,\,\,.}$

kostas136 · #2

Αφού $\displaystyle D=b^2-4a>0$ τότε το τριώνυμο έχει 2 διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

Από $\displaystyle b^2<b|a|+2a^2\Leftrightarrow (b+|a|)(b-2|a|)<0\Leftrightarrow -|a|<b<2|a|$ και αφού $\displaystyle -2|a|\leq -|a|$ προκύπτει $\displaystyle b^2<4a^2$

Αρκεί ισοδύναμα να αποδειχθεί $(|x_1|-|x_2|)^2<4\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2|x_1x_2|<4\Leftrightarrow \frac{b^2}{a^2}-\frac{2}{a}-\frac{2}{|a|}<4\Leftrightarrow b^2-4a^2-2(a+|a|)<0$

Το τελευταίο ισχύει ως άθροισμα αρνητικών. Επίσης, για τυπικούς λόγους, $\displaystyle a\neq 0$ διότι αυτό οδηγεί $\displaystyle b^2<0$

#3

exdx έγραψε:Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{\,\,\,\,f(x) = a{x^2} + bx + 1\,,\,\,\,\,\,\,x,a,b \in R\,\,\,\,\,}$ , για το οποίο ισχύει : $\displaystyle{\,\,\,4a < \,\,{b^2} < b|a| + 2{a^2}\,\,}$
Να δείξετε ότι έχει δυο διαφορετικές πραγματικές ρίζες $\displaystyle{\,\,\,{x_1},{x_2}\,\,}$ , για τις οποίες ισχύει : $\displaystyle{\,\,\,||{x_1}| - |{x_2}|| < 2\,\,\,\,.}$

Καλησπέρα

Μέχρι $\displaystyle{{b^2} < 4{a^2}}$ , όπως και ο Κώστας πιο πάνω. Από εκεί και κάτω:

$\displaystyle{\left| b \right| < 2\left| a \right| \Leftrightarrow \frac{{\left| b \right|}}{{\left| a \right|}} < 2}$

$\displaystyle{\left| {\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right|} \right| \le \left| {{x_1} + {x_2}} \right| = \frac{{\left| b \right|}}{{\left| a \right|}} < 2}$

Σχέση ριζών τριωνύμου

Σχέση ριζών τριωνύμου

Re: Σχέση ριζών τριωνύμου

Re: Σχέση ριζών τριωνύμου

Μέλη σε σύνδεση