ΟΡΙΑ

paylos · #1

Έστω

$f:R \to R$ με $f^3 \left( x \right) + 2f\left( x \right) = x$ για κάθε $x \in R$

Να δείξετε ότι η

είναι συνεχής στο

Να βρείτε το $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$

Να βρείτε το $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}$

Sifis · #2

$f^{3}\left(x \right)+2f(x)=x\Leftrightarrow f\left(x \right)\left(f^{2}(x)+2 \right)=x\Leftrightarrow f(x)=\frac{x}{f^{2}(x)+2}$
$\left|f(x) \right|=\left|\frac{x}{f^{2}(x)+2} \right|=\frac{\left|x \right|}{f^{2}(x)+2}\leq \left|x \right|$ αφού $f^{2}(x)+2>1$
Οπότε $-\left|x \right|\leq f(x)\leq \left|x \right|$
$\lim_{x->0}(-\left|x \right|)=\lim_{x->0}(\left|x \right|)=0$
Άρα από κριτήριο παρεμβολής $lim_{x->0}f(x)=0$

dr.tasos · #3

για $x0 \in R$ τυχαιο έχω

βάζοντας στην συναρτησιακη και μετα αφαιρόντας κατα μέλη

$(f(x)-f(x0))(f^2(x)+f^2(x0)+f(x0)f(x)+2)=x-x0 \rightarrow |(f(x)-f(x0)|=|\frac{x-x0}{(f^2(x)+f^2(x0)+f(x0)f(x)+2)}| \leq |x-x0|$

$-|x-x0| \leq f(x)-f(x0) \leq |x-x0|$

παιρνω όρια στο χ0 και απο Κπ έχω το ζητούμενο

2) $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{f^2(x)+2} \Rightarrow |f(x)| \leq |x| \Leftrightarrow -|x| \leq f(x) \leq |x| \quad (1) \rightarrow \lim_{x \to 0}f(x)=0}$

3) για $x \ne 0$

$\displaystyle{(\frac{f(x)}{x})^3+2\frac{f(x)}{x^3}=\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow (\frac{f(x)}{x})^3=-2\frac{f(x)}{x^3}+\frac{1}{x^2}}$

$\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}\ \frac{f(x)}{x^3}=0}$
( $\displaystyle{ |f(x)|\leq |x| \Leftrightarrow |\frac{f(x)}{x^3}| \leq \frac{1}{x^2} \Leftrightarrow -\frac{1}{x^2} \leq \frac{f(x)}{x^3} \leq \frac{1}{x^2} }$

και απο εδώ είναι προφανές απο κριτήριο παρεμβολής πως το όριο που βρίσκεται ανάμεσα ειναι 0
$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x \to +\infty}(\frac{f(x)}{x})^3=0}$

θέτωντας $\displaystyle{g(x)=(\frac{f(x)}{x}) , x \ne 0}$

$\displaystyle{-\sqrt[3]{(|\frac{f(x)}{x})^3}| \leq g(x) \leq \sqrt[3]{(|\frac{f(x)}{x})^3}|}$

Απο Κπ προκύπτει ότι $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)=0}$

paylos · #4

Sifis έγραψε: $f^{3}\left(x \right)+2f(x)=x\Leftrightarrow f\left(x \right)\left(f^{2}(x)+2 \right)=x\Leftrightarrow f(x)=\frac{x}{f^{2}(x)+2}$
$\left|f(x) \right|=\left|\frac{x}{f^{2}(x)+2} \right|=\frac{\left|x \right|}{f^{2}(x)+2}\leq \left|x \right|$ αφού $f^{2}(x)+2>1$
Οπότε $-\left|x \right|\leq f(x)\leq \left|x \right|$
$\lim_{x->0}(-\left|x \right|)=\lim_{x->0}(\left|x \right|)=0$
Άρα από κριτήριο παρεμβολής $lim_{x->0}f(x)=0$

$\lim_{x->+\propto }\frac{f(x)}{x}=\lim_{x->+\propto }\frac{1}{x}f(x)=0\cdot 0=0$

Το όριο $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)$
δεν γνωρίζουμε την ύπαρξή του και δεν είναι ίσο με

Έτσι δε μπορούμε να πούμε:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{x}f\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0 \cdot 0 = 0$

ΟΡΙΑ

ΟΡΙΑ

Re: ΟΡΙΑ

Re: ΟΡΙΑ

Re: ΟΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση