μήκος αρμονικής έλλειψης

Νίκος Παπαγεωργίου · #1

Το μήκος $s_{\epsilon }$ μιας αρμονικής έλλειψης με ημιάξονες a, c

μπορούμε να το υπολογίσουμε μετατρέποντάς την σε μοναδιαία με ημιάξονες

$a=1, b=\frac{\frac{c}{}}{a}$

$s_{\epsilon }=\frac{\pi }{3}\left(1+b+\sqrt{3+b^{2}} +\sqrt{1+3b^{2}}\right)$

η εξίσωση ισχύει για $b\geq 0.1$

$b=1\Rightarrow$ περιφέρεια μοναδιαίου κύκλου

#2

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:Το μήκος $s_{\epsilon }$ μιας αρμονικής έλλειψης με ημιάξονες μπορούμε να το υπολογίσουμε μετατρέποντάς την σε μοναδιαία με ημιάξονες

$a=1, b=\frac{\frac{c}{}}{a}$

$s_{\epsilon }=\frac{\pi }{3}\left(1+b+\sqrt{3+b^{2}} +\sqrt{1+3b^{2}}\right)$

η εξίσωση ισχύει για $b\geq 0.1$

Δεν γνωρίζω τι θα πει αρμονική έλλειψη. Αν είναι "κανονική έλλειψη" με άλλο όνομα, τότε
ο παραπάνω τύπος για την περίμετρο δεν είναι σωστός.

Ο τύπος για την περίμετρο έλλειψης δίνεται από τα λεγόμενα ελλειπτικά ολοκληρώματα το οποία
αποδεικνύεται ότι δεν γράφονται σε κλειστή μορφή, πλην ειδικών περιπτώσεων (π.χ. όταν οι ημιάξονες
είναι ίσοι μεταξύ τους, δηλαδή όταν έχουμε κύκλο). Από εκεί και πέρα έχουμε διάφορους προσεγγιστικούς τύπους
όπως ο αρκετά απλός τύπος του Ramanujan. Ο παραπάνω είναι ένας από τους γνωστούς προσεγγιστικούς.

Περισσότερα στην Wikipedia εδώ και σε πολλές άλλες πηγές.

Μ.

Νίκος Παπαγεωργίου · #3

θα περιμένω την επιβεβαίωση ότι ο τύπος μου είναι γνωστός (αν είναι έτσι σημαίνει ότι κάπου - που δεν το έχω βρει - υπάρχει δημοσιευμένος) και μετά θα απαντήσω στα υπόλοιπα.

#4

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:Το μήκος $s_{\epsilon }$ μιας αρμονικής έλλειψης με ημιάξονες μπορούμε να το υπολογίσουμε μετατρέποντάς την σε μοναδιαία με ημιάξονες

$a=1, b=\frac{\frac{c}{}}{a}$

$s_{\epsilon }=\frac{\pi }{3}\left(1+b+\sqrt{3+b^{2}} +\sqrt{1+3b^{2}}\right)$

η εξίσωση ισχύει για $b\geq 0.1$

$b=1\Rightarrow$ περιφέρεια μοναδιαίου κύκλου

Επιμένω ότι ο τύπος είναι προσσεγγιστικός. Πράγματι, ως προς την εγκεντρότητα

, όπου $e^2= 1-\frac {c^2}{a^2}$ (εδώ a=1

) γράφεται

$\displaystyle {s_{\epsilon }=\frac{\pi }{3}\left(1+\sqrt {1-e^2}+2\sqrt{1- \frac {e^2}{4}} +2\sqrt{1-\frac {3e^2}{4}}\right)$

Το ανάπτυγμα Taylor του τύπου είναι, σύμφωνα με το Maple και ελεγμένο με το χέρι, το

$\displaystyle{2 \pi \left (1-\frac {1}{4}e^2- \frac {3}{64}e^4-\frac {5}{256}e^6-\frac {175}{16384}e^8-\frac {{\color{red} 441}}{65536}e^{10}+O(e^{12}) \right) }$

και ο σωστός τύπος (τον γράφει και η Wikipedia) είναι

$\displaystyle{2 \pi \left (1-\frac {1}{4}e^2- \frac {3}{64}e^4-\frac {5}{256}e^6-\frac {175}{16384}e^8-\frac {{\color{red} 3969}}{65536}e^{10}+O(e^{12}) \right) }$

Δηλαδή στον συντελεστή του $e^{10}$ , ο οποίος είναι αναπτυγμένη γραφή του $\displaystyle{\left (\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}\right ) ^2\frac {e^{10}}{9}}$ , είναι διαφορετικός, με σφάλμα της τάξης $5\%$ του $e^{10}$ . Για μικρά

(δηλαδή για έλλειψη που μοιάζει με κύκλο) η προσέγγιση είναι καλή. Όμως για κάποια από τα

που επιτρέπει το αρχικό ποστ όπου γράφει $b=c/a\ge 0,1$ , ισοδύναμα $\displaystyle{e\le \sqrt {99/100} \approx 0,9949}$ , και συγκεκριμένα αυτά κοντά στο άνω φράγμα, η απόκλιση είναι περί το $4,75\%$ .

Ας προσθέσω ότι υπάρχει πληθώρα προσεγγιστικών τύπων της περιμέτρου της έλλειψης. Κάποιοι έχουν λίγους όρους και είναι εύχρηστοι, αλλά η προσέγγιση μπορεί να χαλάει κάπως στα $e\approx 1$ (πλακουτσωτές ελλείψεις) ενώ άλλοι έχουν καλύτερη προσέγγιση αλλά οι πράξεις είναι περισσότερες. Ενδιαφέρον και συχνότερα χρησιμοποιημένος είναι ο προσεγγιστικός τύπος του Ramanujan (τον προανέφερα), ο οποίος έχει μόνο ένα ριζικό.

Μ.

KARKAR · #5

Δείτε μια μεγάλη λίστα προσεγγιστικών τύπων για το μήκος της έλλειψης εδώ .

Με κάποιες δοκιμές που έκανα , ο τύπος που προτείνει ο Νίκος , δίνει επίσης καλές

προσεγγίσεις για "λογικό" λόγο των ημιαξόνων .

Θα ήθελε ο συνάδελφος να δώσει κάποιες περισσότερες πληροφορίες για την εργασία του ?

Νίκος Παπαγεωργίου · #6

ένα ένα

Συμφωνούμε ότι ο τύπος είναι πρωτότυπος και δικός μου;

kostas_zervos · #7

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:ένα ένα

Συμφωνούμε ότι ο τύπος είναι πρωτότυπος και δικός μου;

Πραγματικά δεν καταλαβαίνω την εμμονή!

Προσεγγιστικούς τύπους μπορούμε να φτιάξουμε όσους θέλουμε κάνοντας μικρές παραλλαγές στους τύπου που δίνονται εδώ.

π.χ. $s_{\varepsilon}=2\pi\left(1-\dfrac{1}{4}\varepsilon^2-\dfrac{3}{64}\varepsilon^4--\dfrac{5}{256}\varepsilon^6\right)$ .

Νίκος Παπαγεωργίου · #8

1. Κανένας από τους προσεγγιστικούς τύπους δεν δίνει την περιφέρεια του κύκλου
2. Έχει μεγαλύτερη ακρίβεια από κάθε άλλο τύπο (με σχεδιαστικό πρόγραμμα η ακρίβεια είναι 6 δεκαδικών (όσα και του σχεδιαστικού δηλ.)
3. Η μεθοδολογία μου δεν βασίζεται στο ανάπτυγμα Teylor και επιτρέπει τον προσεγγιστικό υπολογισμό του μήκους τόξου της αρμονικής έλλειψης (διότι ελλείψεις υπάρχουν πολλές και πρέπει να τις ξεχωρίσουμε)

KARKAR · #9

Σχεδόν όλοι οι προσεγγιστικοί τύποι , δίνουν το ακριβές μήκος του κύκλου . Πιθανόν να υπάρχει πρόβλημα

αλληλοκατανόησης , αλλά , Νίκο , θα ήθελες να μας γράψεις ποια έλλειψη ορίζεις , ως αρμονική ?

Αν ο τύπος είναι δικός σου - πράγμα που προσωπικά πιστεύω - είμαστε έτοιμοι να σε συγχαρούμε ,

εφόσον μας διαφωτίσεις κάπως για την επινόησή σου .

Βάβαια και ο Ramanujan

,δεν εξηγούσε πολλά , αλλά ...

Νίκος Παπαγεωργίου · #10

βεβαίως και θα δημοσιοποιήσω τη μέθοδο, αρκεί να γίνει άρθρο της αρχικής σελίδας, όπως υπόσχεται η συγκεκριμένη κατηγορία δημοσιεύσεων. Ο λόγος που επιμένω στο διαχωρισμό των ελλείψεων αποτελεί αυτόνομο θέμα που επίσης επιθυμώ να συζητήσουμε.

#11

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:1. Κανένας από τους προσεγγιστικούς τύπους δεν δίνει την περιφέρεια του κύκλου

Το αντίθετο. Σχεδόν όλοι δίνουν την σωστή απάντηση για τον κύκλο. Δεν έχει παρά να βάλει κανείς e=0

ή, ισοδύναμα, a=c

σε οποιονδήποτε προσεγγιστικό τύπο επιλέξει στην τύχη και θα το δει. Για παράδειγμα οι τύποι δυναμοσειράς που ανέφερα, ο Ivory, ο Bessel και ο Ramanujan (για να αναφέρω μόνο τους τέσσερεις πρώτους που έχει η Wikipedia) είναι ακριβείς στον κύκλο.

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:2. Έχει μεγαλύτερη ακρίβεια από κάθε άλλο τύπο (με σχεδιαστικό πρόγραμμα η ακρίβεια είναι 6 δεκαδικών (όσα και του σχεδιαστικού δηλ.)

Δεν είναι σωστό αυτό για πολλούς λόγους. Ας γράψω δύο.

α) Όπως έδειξα, ο τύπος της δυναμοσειράς είναι καλύτερος ήδη από τον όρο του $e^{10}$ . Μάλιστα επειδή ακριβώς πρόκειται για συγκλίνουσα σειρά, έχει όση ακρίβεια θέλουμε. Όχι μόνο

δεκαδικά αλλά και 10000000

δεκαδικά αν θέλουμε, μπορούμε να τα έχουμε αρκεί να προσθέσουμε κατάλληλο πλήθος όρων.

β) Ο δεύτερος λόγος είναι ένα λογικό σφάλμα που κάνεις: Η σύγκρισή σου είναι με βάση ένα σχεδιαστικό πρόγραμμα. Μα το σχεδιαστικό είναι ήδη κάποια προσέγγιση (το σχεδιαστικό ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΤΗΝ ΑΚΡΙΒΗ ΤΙΜΗ της περιφέρειας έλλειψης γιατί δεν υπάρχει κλειστός τύπος). Οπότε τι συγκρίνουμε; Για παράδειγμα αν ένα λογισμικό δουλεύει με ακρίβεια

δεκαδικών, λέω τώρα, θα βγάλει ως καλύτερη την προσέγγιση 1,41

της $\sqrt 2$ από την 1,414213562

. Μάλιστα θα πει ότι η 1,41

είναι εκατό τοις εκατό σωστή! Πλην όμως το λογισμικό κάνει χονδροειδές λάθος.

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:3. Η μεθοδολογία μου δεν βασίζεται στο ανάπτυγμα Teylor και επιτρέπει τον προσεγγιστικό υπολογισμό του μήκους τόξου της αρμονικής έλλειψης (διότι ελλείψεις υπάρχουν πολλές και πρέπει να τις ξεχωρίσουμε)

Τον συλλογισμό με σειρές Taylor τον έγραψα όχι ως απόδειξη του τύπου, αλλά για σύγκριση τύπων. Στο αρχικό σου πόστ ισχυρίζεσαι ότι ο τύπος σου είναι ακριβής (για $b\ge 0,1$ ). Πλην όμως, όπως έδειξα, δεν είναι. Και έδειξα πόσο είναι το σφάλμα. Αυτό είναι όλο.

Θα μας πεις αν ισχυρίζεσαι ότι ο τύπος είναι ακριβής ή όχι; Αν δεν είναι, τι συζητάμε.

Μ.

Νίκος Παπαγεωργίου · #12

Το πόσο ακριβής είναι ο τύπος μου το ξεκαθάρισα. Το όση ακρίβεια θέλουμε ισχύει και για τον κύκλο (ή ακρίβεια του π)

Αυτό που συζητάμε τώρα είναι, αν αξίζει να δημοσιευθεί η πρότασή μου στην αρχική σελίδα και να δειχθεί και ένας νέος τρόπος προσέγγισης του μήκους τόξου μιας έλλειψης.

mtsarduckas · #13

Μετά από τόσα post εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω πως μπορούμε να εξετάσουμε πόσο χρήσιμος είναι ο τύπος όταν ακόμα δεν ξέρουμε τι είναι η αρμονική έλλειψη...

#14

Τα μαθηματικά επιχειρήματα για το θέμα έχουν εκτεθεί επαρκώς.
Για τα μη μαθηματικά ζητήματα υπάρχουν άλλες κατάλληλες ιστοσελίδες.
Επειδή η επικοινωνία δεν είναι αμφίδρομη η παράταση της συζήτησης είναι περιττή.

μήκος αρμονικής έλλειψης

μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Re: μήκος αρμονικής έλλειψης

Μέλη σε σύνδεση