Συναρτησιακή!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(xf(x+y))=f^2(x)+xy ,\ \ \ \forall x,y\in\mathbb{R}. }$

paulgai · #2

Για

προκύπτει $f(0)=f^{2}(0)\Rightarrow f(0)=0$ ή f(0)=1

Για

προκύπτει $f(xf(0))=f^{2}(x)-x^2$ . Για την περίπτωση f(0)=0

παίρνουμε $f^{2}(x)=x^{2}$
και για την περίπτωση f(0)=1

προκύπτει $f^{2}(x)-f(x)-x^{2}=0$ . Από εδώ (μιας και δεν υπάρχει η υπόθεση συνέχειας)
προκύπτουν οι γνωστές (άπειρες στο πλήθος) συναρτήσεις που ικανοποιούν τις παραπάνω σχέσεις.
Για παράδειγμα, για κάθε $A\subset \mathbb{R}$ η συνάρτηση:

$\displaystyle {f(x)=\left\{\begin{matrix} x, & x\in A \\ -x, & x\not\in A \end{matrix}\right}$

ικανοποιεί την $f^{2}(x)=x^{2}$

#3

Επαναφορά!

raf616 · #4

Καλησπέρα!

Έστω P(x,y)

ο ισχυρισμός. Τότε για P(1, y-1)

παίρνουμε

από όπου η

είναι

και επί. Υπάρχει επομένως

τέτοιο ώστε f(a)=0

.

$P(a, 0) \implies f(0) = 0$ . Τότε για P(x,-x)

παίρνουμε $f^2(x) = x^2, \forall x \in \Bbb{R}$ .

Ακόμα υπάρχει

τέτοιο ώστε f(b)=1

. Τότε $P(x, b-x) \implies f(x) = x^2 + x(b-x) = bx$ . Αντικαθιστώντας παίρνουμε $f(x)=x, \forall x \in \Bbb{R}$ και $f(x) =-x, \forall x \in \Bbb{R}$

που πράγματι είναι λύσεις.

#5

Συναρτησιακή!

Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση