ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Tkostas · #1

Βοήθεια!!

Εστω

παραγωγίσιμη στο $\left[0,1 \right]$ και

συνεχή στο $\left[0,1 \right]$ .Ισχύουν f(0)=0

, $f(1)\neq 0,f'(0)\neq 0$ .
Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ενα $\xi \in \left(0,1 \right): \frac{f'(\xi )}{f(\xi )}=\frac{f'(1-\xi )}{f(1-\xi )}$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

h(x)=f(x)f(1-x) αλλά νομίζω έχει πρόβλημα το πεδίο ορισμού ...

Tkostas · #3

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:h(x)=f(x)f(1-x)

bolzano kai rolle?

Tkostas · #4

Tkostas έγραψε:
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:h(x)=f(x)f(1-x)
bolzano kai rolle?

Με τη μια rolle σωστά..τα εύκολα δύσκολα έκανα..

Ευχαριστώ.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Κάτι δε μου αρέσει στο πεδίο ορισμού της σύνθεσης ... Προέρχομαι και από έξοδο οπότε καταλαβαίνεις ...

Tkostas · #6

Γιατί όμως η εκφώνηση να λέει ότι η

να είναι συνεχής??
Χρειάζεται κάπου?

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #7

Η σύνθεση δεν έχει πρόβλημα απλά είχες γράψει [ 1 , 2 ] στην αρχή στο πεδίο ορισμού .
Για τη συνέχεια της f ΄ να το δούμε μήπως βγαίνει με Bolzano σε συνάρτηση που περιέχει την f ΄...

Ναι , χιαστί όλα μπροστά και bolzano ...

#8

Πρέπει επιπλέον να δικαιολογηθεί/εξασφαλισθεί ότι γι'αυτό το $\displaystyle{\xi}$ , είναι $\displaystyle{f(\xi)\ne 0}$ και $\displaystyle{f(1-\xi)\ne 0}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#9

'Οπως λέει ο Αχιλλέας, η απάντηση μέχρι στιγμής δεν είναι πλήρης.

Με την h(x) = f(x)f(1-x)

που πρότεινε ο Χρήστος έχουμε h(0)=h(1) = 0

,

παραγωγίσιμη με $h{'}(1) \neq 0$ και αρκεί να βρούμε $\xi$ ώστε $h{'}(\xi) = 0$ και $h(\xi) \neq 0$ .

Η άσκηση είναι πράγματι σωστή και έχω μια λύση για το πιο πάνω η οποία είναι έξω από τα σχολικά πλαίσια. Θα περιμένω λίγο προτού να την βάλω διότι μάλλον μπορεί να απαντηθεί και με γνώσεις της σχολικής ύλης.

hsiodos · #10

Tkostas έγραψε:Βοήθεια!!

Εστω παραγωγίσιμη στο $\left[0,1 \right]$ και συνεχή στο $\left[0,1 \right]$ .Ισχύουν , $f(1)\neq 0,f'(0)\neq 0$ .
Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ενα $\xi \in \left(0,1 \right): \frac{f'(\xi )}{f(\xi )}=\frac{f'(1-\xi )}{f(1-\xi )}$

Καλό απόγευμα σε όλους
Μια προσέγγιση

1. Αν $\displaystyle{f\left( {\frac{1}{2}} \right) \ne 0}$ τότε προφανώς $\displaystyle{\xi = \frac{1}{2}}$

2.Αν $\displaystyle{f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0}$ τότε θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{h(x) = f(x)f(1 - x)}$ ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0,1]}$ με $\displaystyle{h{'} (x) = f{'} (x)f(1 - x) - f(x)f{'} (1 - x)}$ (1)

Το ζητούμενο προκύπτει αν αποδείξουμε ότι η $\displaystyle{h{'} }$ μηδενίζεται σε $\displaystyle{\xi \in (0,1)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(\xi )f(1 - \xi )\, \ne 0 \Leftrightarrow h(\xi ) \ne 0}$ .

Είναι $\displaystyle{h(0) = h(1) = 0}$ (2)

i) Επειδή $\displaystyle{h{'} (0) \ne 0}$ (επίσης $\displaystyle{h{'} (1) \ne 0}$ προκύπτουν από την (1)) η h δεν είναι σταθερή(δηλαδή η μηδενική) .

ii) H h είναι συνεχής και μη σταθερή στο $\displaystyle{[0,1]}$ άρα έχει ολικά ακρότατα που το ένα τουλάχιστον είναι διάφορο του μηδενός και δεν μπορεί να παρουσιάζεται στα άκρα λόγω της (2) .

Συνεπώς η h παρουσιάζει ακρότατο σε $\displaystyle{\xi \in (0,1)}$ με $\displaystyle{h(\xi ) \ne 0}$ και από Fermat θα είναι $\displaystyle{ h & {'} (\xi ) = 0}$ που μας οδηγεί στο ζητούμενο.

Γιώργος

ΥΓ. Στην περίπτωση 2. αν εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο χωριστά στα διαστήματα $\displaystyle{\left[ {0,\frac{1}{2}} \right]\,\,,\,\,\left[ {\frac{1}{2},1} \right]}$ βρίσκουμε πως τα ζητούμενα ξ είναι τουλάχιστον δύο , τουλάχιστο ένα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\left( {0,\frac{1}{2}} \right)\,\,,\,\,\left( {\frac{1}{2},1} \right)}$ .

ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Re: ΘΜΤ--ROLLE??ΠΟΥ?

Μέλη σε σύνδεση