Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

dimplak · #1

1.

$\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6$

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση!

dimplak · #2

dimplak · #3

STOPJOHN · #4

Καλημέρα Δημήτρη για την πρώτη άσκηση έχω τη λύση αλλά σκέφτομαι τη εννοείς με την ευθεία ...; λύση μήπως και εχω τεθλασμένη λύση ;
φιλικά Γιάννης

dimplak · #5

Καλημέρα, Γιάννη!

Ευθεία λύση εννοώ μεταφορικά με ... ατελείωτες πράξεις!

dimplak · #6

dimplak · #7

5.

$2 ( x^2 + 2) = 5 \sqrt{x^3 + 1}$

Υ.Γ. Σταματώ εδώ σήμερα! Προσμένω λύσεις διαφορετικές από αυτές που έχω!

#8

dimplak έγραψε:1.

$\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6$

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση!

Να θεωρήσουμε ( με κάποια επιφύλαξη ) ως …τεθλασμένη λύση την πιο κάτω;

Πρώτα- πρώτα επειδή πρέπει : $\left\{ \begin{gathered} 24 + x \geqslant 0 \hfill \\ 12 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow - 24 \leqslant x \leqslant 12$

Επειδή όμως το άθροισμα των δύο ριζικών είναι

αναγκαστικά κάθε ριζικό πρέπει να δίδει ακέραιο αριθμό ,

Δοκιμάζουμε για την παράσταση $\sqrt[3]{{x + 24}}$ τις μόνες τιμές που δίδουν ακέραιο αποτέλεσμα κι αυτές είναι :

x = - 24,x = - 16,x = 3

που μόνο πάλι οι $\boxed{x = - 24\,\,,\,\,x = 3}$ επαληθεύουν.

Άρα αυτές είναι οι λύσεις που ζητάμε .

Φιλικά Νίκος

dimplak · #9

κ. Νίκο καλημέρα!

Αν και άλλο εννοούσα, για άλλη μια φορά καταφέρατε να δώσετε ... κυριολεκτικά ανεπανάληπτη διδακτικά λύση!

Είστε καθημερινή πηγή έμπνευσης για το μαθηματικό κοινό!

Φιλικά,

Δημήτρης

dement · #10

dimplak έγραψε:5.

$2 ( x^2 + 2) = 5 \sqrt{x^3 + 1}$

$\displaystyle 2 [(x+1) + (x^2 - x + 1)] = 5 \sqrt{(x+1)(x^2 - x + 1)} \Leftrightarrow 2 \left(a + \frac{1}{a} \right) = 5$ όπου $\displaystyle a = \sqrt{\frac{x+1}{x^2 - x + 1}}$ (επιτρεπτό γιατί $x \neq -1$ ).

Έτσι $a \in \{ 2, 1/2 \}$ . Η περίπτωση a = 2

δεν δίνει αποδεκτές λύσεις ( 4x^2 - 5x + 3 = 0

), ενώ η περίπτωση a = 1/2

δίνει

οπότε $\displaystyle x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$ (αποδεκτές και οι δύο αφού είναι μεγαλύτερες του

).

STOPJOHN · #11

dimplak έγραψε:1.

$\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6$

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση!

Θέτουμε
$x+24=a\geq 0, b=12-x\geq 0, a+b=36$

H δοθείσα εξίσωση γράφεται

$\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}=6\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt{36-a}=6\Leftrightarrow \sqrt{36-a}=6-\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}-12=0,\sqrt[3]{a}=w, w^{2}+w-12=0\Rightarrow w=3>0,a=27,x=3, a=0,x=-24$
Επαληθεύουν και οι δυο τιμές
Σχόλιο
Στις περιπτώσεις κυβικών ριζών και γενικά με τάξεις περιττούς τα υπόριζα θα είναι θετικά η μηδέν ; Είχαμε κάνει κάποια συζήτηση..αλλά τρέχα βρέστει ....

Γιάννης

#12

dimplak έγραψε:1.

$\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6$

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση!

Κάτι παρόμοιο

Έστω $\displaystyle{x + 24 = {t^3} \geqslant 0 \Rightarrow 12 - x = 36 - {t^3} \geqslant 0}$ και η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt {36 - {t^3}} = 6 - t\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 \leqslant t \leqslant \sqrt[3]{{36}}} t({t^2} + t - 12) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = 3 \vee t = - 4}$

Η τελευταία ρίζα απορρίπτεται και από τις δύο πρώτες παίρνουμε αντίστοιχα $\boxed{x=-24}$ ή $\boxed{x=3}$

#13

dimplak έγραψε:4.

$\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x - 1} + 1$

Μήπως υπάρχει τυπογραφικό; Έχω την εντύπωση ότι δεν έχει λύση.

Όταν πήγαινα σχολείο η x=1

θα ήταν δεκτή λύση. Τότε δεν υπήρχαν περιορισμοί στις κυβικές ρίζες και γράφαμε $\displaystyle{\sqrt[3]{{ - 8}} = - 2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #14

Ο Doloros έγραψε
Επειδή όμως το άθροισμα των δύο ριζικών είναι

αναγκαστικά κάθε ριζικό πρέπει να δίδει ακέραιο αριθμό ,

Γεια σου σύντεχνε.
Για κάτι τέτοια σε κλείνουν μέσα.
Την γλυτώνεις για δύο λόγους.
Είσαι Κρητικός και το σπουδαιότερο φοβερός Γεωμέτρης.

dimplak · #15

george visvikis έγραψε:
dimplak έγραψε:4.

$\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x - 1} + 1$
Μήπως υπάρχει τυπογραφικό; Έχω την εντύπωση ότι δεν έχει λύση.

Όταν πήγαινα σχολείο η θα ήταν δεκτή λύση. Τότε δεν υπήρχαν περιορισμοί στις κυβικές ρίζες και γράφαμε $\displaystyle{\sqrt[3]{{ - 8}} = - 2}$

Καλησπέρα κ. Γιώργο!

Συγγνώμη για την απροσεξία αλλά ναι στο εξωτερικό δέχονται την αρνητική κυβική ρίζα όπως εδώ παλιά!

Όμως, για να μην υπάρξει θέμα απλά ας βάλουμε $\sqrt[3]{|x - 9|}$ και αν πάρουμε περιπτώσεις! Νομίζω πως έτσι λύνεται με τον ίδιο

τρόπο το πρόβλημα!

Φιλικά,

Δημήτρης

Σταμ. Γλάρος · #16

dimplak έγραψε:3.

$\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{2x^2 + 4x + 3} = 2x + 1$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Πρέπει κατ΄αρχήν $x^{2}-1\geq 0$ $\Leftrightarrow$ $x\leq -1 , x\geq 1 .$
Εξ΄άλλου το τριώνυμο μέσα στην δεύτερη ρίζα έχει αρνητική διακρίνουσα, συνεπώς είναι πάντα θετικό.
Επίσης πρέπει $x\geq -\dfrac{1}{2}$ .
Συναληθεύοντας τους παραπάνω περιορισμούς προκύπτει $x\geq 1 .$

Αν x>1

υψώνοντας στο τετράγωνο την δοθείσα έχουμε:

$x^{2}-1+2x^{2}+4x+3 +2\sqrt{x^{2}-1}\sqrt{2x^{2}+4x+3}=4x^{2}+4x+1$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $2\sqrt{x^{2}-1}\sqrt{2x^{2}+4x+3}=x^{2}-1$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $2\sqrt{2x^{2}+4x+3}=\sqrt{x^{2}-1}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ 7x^2+16x+13=0.

Η τελευταία δευτεροβάθμια εξίσωση είναι αδύνατη αφού έχει αρνητική διακρίνουσα.

Επομένως μοναδική λύση είναι η x=1.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

STOPJOHN · #17

dimplak έγραψε:3.

$\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{2x^2 + 4x + 3} = 2x + 1$

Kαλησπέρα

Παρατηρώ ότι $2x+1=\sqrt{(2x+1)^{2}}=\sqrt{(2x^{2}+4x+3)+2(x^{2}-1)},2x+1\geq 0$
Αρα η εξίσωση γράφεται $\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{2x^{2}+4x+3}=\sqrt{(2x^{2}+4x+3)+2(x^{2}-1)},x\geq 1$
Οπότε υποδεικνύεται η αντικατάσταση

$a=\sqrt{x^{2}-1},b=\sqrt{2x^{2}+4x+3}$ και η εξίσωση γίνεται
$a+b=\sqrt{2a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow 2ab=a^{2}\Leftrightarrow a=0,a=2b, a=0\Leftrightarrow x=1,x=-1, a=2b\Leftrightarrow 7x^{2}+16x+13=0,\Delta <0$
Tελικα η λύση είναι x=1

Γιάννης

dimplak · #18

dimplak έγραψε:4.

$\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x - 1} + 1$

Καλησπέρα!

Μετά την επισήμανση του κ. Βισβίκη , αλλάζω τη διατύπωση της εξίσωσης: $2x^2 + 3x - \sqrt[3]{9 - x} = \sqrt{5x - 1} + 1$ .

Υ.Γ. Θα βάλω λύση αργότερα!

Ιστοσελίδα · #19

dimplak έγραψε: Μετά την επισήμανση του κ. Βισβίκη , αλλάζω τη διατύπωση της εξίσωσης: $2x^2 + 3x - \sqrt[3]{9 - x} = \sqrt{5x - 1} + 1$ .

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $\frac{1}{5}\leq x\leq 9$ .

$2x^2 + 3x - \sqrt[3]{9 - x} = \sqrt{5x - 1} + 1 \Leftrightarrow$

$(2x^2 -2)+ (3x-3)+\left(2 - \sqrt[3]{9 - x} \right)= \sqrt{5x - 1} -2 \Leftrightarrow$

$2(x -1)(x+1)+ 3(x-1)+\dfrac{x-1}{4+2\sqrt[3]{9 - x}+\sqrt[3]{(9 - x)^2}} = \dfrac{5(x-1)}{\sqrt{5x - 1} +2} \Leftrightarrow$

$(x-1)\left[2x+5+\dfrac{1}{4+2\sqrt[3]{9 - x}+\sqrt[3]{(9 - x)^2}} - \dfrac{5}{\sqrt{5x - 1} +2} \right] =0 \Leftrightarrow$

x=1

Η συνάρτηση $f(x)=2x+5+\dfrac{1}{4+2\sqrt[3]{9 - x}+\sqrt[3]{(9 - x)^2}} - \dfrac{5}{\sqrt{5x - 1} +2} , \; x\in\left[\frac{1}{5},9\right]$

είναι γνησίως αύξουσα οπότε $f(x)\geq f\left(\frac{1}{5}\right)>0$

dimplak · #20

dimplak έγραψε:2.

$4 x^2 - 7x + 3 = (x+1) \sqrt{2x^2 + 4x - 3}$

Πρέπει $2x^2 + 4x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty , - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} ] \cup [ - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} , + \infty)$ .

Για x = - 1

η εξίσωση δεν αληθεύει , άρα για $x \ne - 1$ έχουμε:

$\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1} = \sqrt{2x^2 + 4x - 3} \Leftrightarrow$

$\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1}-(ax+b) = \sqrt{2x^2 + 4x - 3}-(ax+b) \Leftrightarrow$

$\frac{4 x^2 - 7x + 3 - (ax + b)(x+1)}{x+1} = \frac{2x^2 + 4x - 3 - (ax+b)^2}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)} \Leftrightarrow$

$\frac{(4 -a)x^2 + (-7 -a - b)x + (3-b)}{x+1} = \frac{(2 - a^2)x^2 + (4 - 2ab)x + (-3 - b^2)}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)}$ (1)

.

Θέτουμε: $\frac{4 - a}{2 - a^2} = \frac{-7 - a - b}{4 - 2ab} = \frac{3 - b}{-3 - b^2} = k$ και προκύπτει το σύστημα

$\begin{cases} ka^2 - a + 4 - 2k = 0 \\ 7 + a + b = k(2ab - 4) \\ kb^2 - b + 3 + 3k = 0 \end{cases}$ με λύσεις k=-1, a = 2 , b=-1

.

Τότε $(1) \Leftrightarrow \frac{2x^2 - 8x +4}{x+1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{-2x^2 + 8x - 4}{-x -1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow$

$\begin{cases} -2x^2 + 8x - 4 = 0 \\ \sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1 = -1 -x \end{cases} \Leftrightarrow$

$\begin{cases} x = 2 \pm \sqrt{2} \\ 7x^2 - 4x + 3 = 0 (x \le 0) \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$ .

Επειδή πρέπει $x \in (- \infty , - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} ] \cup [ - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} , + \infty)$ , δεκτή είναι μόνο η λύση $x = 2 - \sqrt{2}$ .

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση