συνέχεια

#1

Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση στο $\displaystyle{[0,1]}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{ y }$ στο $\displaystyle{f([0,1])}$ η εξίσωση $\displaystyle{y=f(x)}$ να έχει δυο ακριβώς λύσεις .στο $\displaystyle{[0,1]}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Θα δώσω μια λύση η οποία δείχνει ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της
συνάρτησης είναι ένα οποιοδήποτε διάστημα.

Δηλαδή δεν υπάρχει $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής (

διάστημα)
ώστε κάθε τιμή την παίρνει ακριβώς δύο φορές.

Εστω ότι υπάρχει.
Θα υπάρχουν a<b

εσωτερικά σημεία με f(a)=f(b)

και $x\neq a,b\Rightarrow f(x)\neq f(a)$

Λόγω του ΘΕΤ θα έχουμε ότι $x\in (a.b)\Rightarrow f(x)>f(a)$

η $x\in (a.b)\Rightarrow f(x)<f(a)$

Ας υποθέσουμε ότι ισχύει η πρώτη περίπτωση(παρόμοια δουλεύουμε για την δεύτερη)

Εστω $c\in (a,b)$ που η

παίρνει την μέγιστη τιμή.

Κάθε τιμή του [f(a),f(c))

η

την παίρνει δύο φορές σε σημεία του [a,b]

Σε συνδιασμό με το ΘΕΤ προκύπτει ότι $x\notin [a,b]\Rightarrow f(x)< f(a)$ .

Από το τελευταίο προκύπτει ότι την δεύτερη φορά την τιμή f(c)

την παίρνει στο $d\in (a,b)$ .

Στο κλειστό διάστημα με άκρα τα c,d

η

παίρνει ελάχιστη τιμή έστω την f(k)

Από το ΘΕΤ προκύπτει ότι κάθε τιμή στο (f(k),f(c))

η

την παίρνει τουλάχιστον

φορές

πού είναι ΑΤΟΠΟ.

dement · #3

Έστω

συνάρτηση με τη δεδομένη ιδιότητα και $M \equiv \max f \left( [0,1] \right), m \equiv \min f \left( [0,1] \right)$ . Ονομάζουμε $\{ x_0, x_1 \} \equiv f^{-1} (m), \{ x_2, x_3 \} \equiv f^{-1} (M)$ .

Θεωρούμε x_0 < x_1 < x_2

(και ομοίως για όλες τις άλλες περιπτώσεις).

Έστω $\displaystyle y \equiv \frac{x_0 + x_1}{2}$ . Προφανώς f(y) > m

. Από Bolzano υπάρχουν σημεία $\xi_1 \in (x_0, y), \xi_2 \in (y, x_1), \xi_3 \in (x_1, x_2)$ με $\displaystyle f(\xi_1) = f(\xi_2) = f(\xi_3) = \frac{m + f(y)}{2}$ και έτσι έχουμε άτοπο.

#4

το κύρος των προηγούμενων αλγεβρικών αποδείξεων είναι αναμφισβήτιτο
Ας προσπαθήθουμε τωρ πι γεωμετρικά
Κατ' αρχήν πάμε να φτιάξουμε μια καμπύλη που κάθε οριζόντια ευθεια από το σύνολο τιμών της
θα την τέμνει ακριβώς δυο φορές

: Clipboard05.jpg (10.47 KiB) Προβλήθηκε 1508 φορές

όλα πάνε καλά εκτός από το ΜΑΧ Η εξίσωση $\displaystyle{M=f(x)}$ έχει μία μόνο λυση
Πρέπει να αλάξουμε το σχήμα και να προσθέσουμε μια ακόμη λυση στην $\displaystyle{M=f(x)}$

: Clipboard07.jpg (5.93 KiB) Προβλήθηκε 1508 φορές

Eστω $\displaystyle{f(x_1)<M,x_1<p}$ και $\displaystyle{f(x_2)<M,p<x_2<q}$ kai $\displaystyle{f(x_3)<M,x_3>q}$
Αρα απο το θεωρημα ενδιαμέσων τιμων η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=MAX [f(x_1),f(x_2),f(x_3)]}$ εχει τουλάχιστον 3 λύσεις
αν το μέγιστο βρίσκεται στα άκρα εργαζόμαστε με το ελάχιστο

#5

Βλέπε την συζήτηση και το σχήμα εδώ.

#6

Άλλη μια φορά εδώ με παράδειγμα για τρεις ακριβώς ρίζες

συνέχεια

συνέχεια

Re: συνέχεια

Re: συνέχεια

Re: συνέχεια

Re: συνέχεια

Re: συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση