Συνεκτικότητα-Κυρτότητα

stranger · #1

Ως γνωστόν στον $\mathbb{R}^d$ έχουμε ότι τα συνεκτικά κατά τόξα υποσύνολα είναι ακριβώς τα κυρτά υποσύνολα αν και μόνο αν d=1

.
Τι θα μπορούσατε να πείτε για αυτήν την ιδιότητα; Θέλω ένα διαισθητικό(γεωμετρικό) επιχείρημα που να εξηγεί αυτήν την ιδιότητα.
Τι χαλάει στην περίπτωση $d \geq 2$ ;

#2

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:54 am
Ως γνωστόν στον $\mathbb{R}^d$ έχουμε ότι τα συνεκτικά κατά τόξα υποσύνολα είναι ακριβώς τα κυρτά υποσύνολα αν και μόνο αν .
Τι θα μπορούσατε να πείτε για αυτήν την ιδιότητα; Θέλω ένα διαισθητικό(γεωμετρικό) επιχείρημα που να εξηγεί αυτήν την ιδιότητα.
Τι χαλάει στην περίπτωση $d \geq 2$ ;

Τα δύο σχήματα που ακολουθούν, απαντούν στο ερώτημά σου. Και τα δύο είναι συνεκτικά κατά τόξα αλλά μη κυρτά.

Τα σχήματα γενικεύονται εύκολα σε όλες τις διαστάσεις $d \ge 2$ .

Μάρκος Βασίλης · #3

Νομίζω ότι, όπως και σε πολλές περιπτώσεις που κάτι ισχύει σε κάποιες διαστάσεις του $\mathbb{R}^d$ και όχι σε όλες, είναι θέμα «χώρου». Εξηγούμαι αμέσως. Στον $\mathbb{R}$ ας πάρουμε ένα σύνολο

που είναι κατά τόξα συνεκτικό (δηλαδή κατά μονοπάτια, μιας και αυτές οι έννοιες συμπίπτουν στους Ευκλείδειους χώρους). Αυτό σημαίνει ότι για κάθε δύο σημεία $a,b\in S$ υπάρχει μία συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\to S$ τέτοια ώστε f(0)=a

και

- με άλλα λόγια, υπάρχει ένα «μονοπάτι» από το ένα σημείο στο άλλο που βρίσκεται εξ ολοκλήρου «μέσα» στο σύνολο. Ωστόσο, σε ένα σύνολο σαν το

που ζει πάνω στην ευθεία, τι άλλο μπορεί να είναι ένα μονοπάτι παρά ένα ευθύγραμμο τμήμα; Επομένως, η έννοια αυτή συμπίπτει με την έννοια της συνήθους συνεκτικότητας αλλά και της κυρτότητας στον $\mathbb{R}$ - λόγω «στενότητας χώρου».

Στον $\mathbb{R}^2$ , για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε ένα σύνολο αυτό εδώ.

το οποίο είναι εμφανώς μη κυρτό, ωστόσο μπορούμε να χαράξουμε ένα μονοπάτι εξ ολοκλήρου εντός του συνόλου μας που να ενώνει κάθε δύο σημεία του. Αυτό το μονοπάτι, βεβαίως, δε θα είναι πάντοτε ευθύγραμμο τμήμα, όπως μπορούμε εύκολα να δούμε.

Ίσως, ένας καλύτερος τρόπος για να το δούμε αυτό είναι να αντιληφθούμε την κυρτότητα ως μία «ειδικής μορφής» κατά τόξα συνεκτικότητα, υπό την έννοια ότι, αντί να επιτρέπουμε μονοπάτια κάθε μορφής, επιτρέπουμε μόνον ευθύγραμμα τμήματα. Με αυτό το σκεπτικό, σε χώρους όπου οι εικόνες των διαστημάτων μέσω συνεχών συναρτήσεων δεν «εκφυλίζονται» τελικά σε αυτές των συναρτήσεων της μορφής $f(x)=\lambda x+(1-\lambda)x$ , $\lambda\in[0,1]$ , έχουμε μονοπάτια που δεν είναι «ευθύγραμμα τμήματα», άρα αναμένουμε η κατά τόξα συνεκτικότητα να μη συμπίπτει με την κυρτότητα.

Όλα τα παραπάνω σε ένα αρκετά διαισθητικό και πιο «χαλαρό» πλαίσιο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:54 am
Ως γνωστόν στον $\mathbb{R}^d$ έχουμε ότι τα συνεκτικά κατά τόξα υποσύνολα είναι ακριβώς τα κυρτά υποσύνολα αν και μόνο αν .
Τι θα μπορούσατε να πείτε για αυτήν την ιδιότητα; Θέλω ένα διαισθητικό(γεωμετρικό) επιχείρημα που να εξηγεί αυτήν την ιδιότητα.
Τι χαλάει στην περίπτωση $d \geq 2$ ;

Η κυρτότητα είναι μια γεωμετρική ιδιότητα.
Η συνεκτικότητα και η κατά τόξο συνεκτικότητα είναι μια τοπολογική ιδιότητα.
Το ότι στο $\mathbb{R}$ ταυτίζονται δεν λέει τίποτα γιατί εκεί είναι τετριμμένες.
Αυτό λοιπόν που μπορούμε να πούμε είναι ότι σε τοπολογικά γραμμικούς χώρους
κάθε κυρτό είναι και συνεκτικό και ειδικότερα κατά τόξο συνεκτικό.

stranger · #5

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 1:24 pm
Ωστόσο, σε ένα σύνολο σαν το που ζει πάνω στην ευθεία, τι άλλο μπορεί να είναι ένα μονοπάτι παρά ένα ευθύγραμμο τμήμα; Επομένως, η έννοια αυτή συμπίπτει με την έννοια της συνήθους συνεκτικότητας αλλά και της κυρτότητας στον $\mathbb{R}$ - λόγω «στενότητας χώρου».

Νομίζω ότι αυτή είναι η καλύτερη εξήγηση και είναι αυτή που είχα στο μυαλό μου και εγώ.

Συνεκτικότητα-Κυρτότητα

Συνεκτικότητα-Κυρτότητα

Re: Συνεκτικότητα-Κυρτότητα

Re: Συνεκτικότητα-Κυρτότητα

Re: Συνεκτικότητα-Κυρτότητα

Re: Συνεκτικότητα-Κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση