Μαλαματένια λόγια από τριάρια

KARKAR · #1

: Μαλαματένια λόγια από τριάρια.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Η υποτείνουσα

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

είναι τριπλάσια από το προς αυτήν ύψος .

Αν με τα σημεία S , T

τριχοτομήσουμε την

, υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AC}{AB}$ και : $\dfrac{AT}{AS}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 10:36 pm
Μαλαματένια λόγια από τριάρια.pngΗ υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου είναι τριπλάσια από το προς αυτήν ύψος .

Αν με τα σημεία τριχοτομήσουμε την , υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AC}{AB}$ και : $\dfrac{AT}{AS}$ .

Aν

η προβολή του

στην υποτείνουσα και αν BP=x

, έχουμε $AP^2=BP\cdot PC$ . Άρα 9=x(9-x)

. Λύνοντας την δευτεροβάθμια θα βρούμε $x= \frac {1}{2}(9-3\sqrt 5)$ (κρατήσαμε την ρίζα πού είναι <BP=3

).

Άρα $\dfrac{AC}{AB}= \dfrac{AP}{BP} =\dfrac{3}{x}= \dfrac {1} {2}(3+\sqrt 5)$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο APS

είναι γνωστές οι κάθετες AP=3, PS=3-x

από όπου (Πυθαγόρειο) η

. Όμοια η

από το

, οπότε αμέσως βρίσκουμε το $\dfrac{AT}{AS} = \dfrac {\sqrt {3^2+(6-x)^2}}{\sqrt {3^2+(3-x)^2}}=...$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 10:36 pm
Μαλαματένια λόγια από τριάρια.pngΗ υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου είναι τριπλάσια από το προς αυτήν ύψος .

Αν με τα σημεία τριχοτομήσουμε την , υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AC}{AB}$ και : $\dfrac{AT}{AS}$ .

Έστω

η προβολή του

στην

. Θέτω $BK = x\,\,,\,\,AT = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = m$ .

Επειδή , $A{K^2} = KB \cdot KC \Rightarrow 9 = x\left( {9 - x} \right)$ απ’ όπου : $\boxed{x = KB = \frac{{9 - 3\sqrt 5 }}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KS = 3 - x = \dfrac{{9 + 3\sqrt 5 }}{2}}$ .

Επειδή $\boxed{\dfrac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{KC}}{{KB}} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AB}} = \sqrt {\dfrac{{9 - x}}{x}} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = 1 + \varphi }$

: μαλαματένια λόγια με τρίάρια.png (14.19 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές

Για τον άλλο λόγο , Από 1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle AST$ βρίσκω ότι : ${k^2} + {m^2} = 45\,\,\,\left( 1 \right)$ . Ενώ από το Π. Θ. στο $\vartriangle KSA$ έχω :

${m^2} = 9 + K{S^2} = 9 + {\left( {\dfrac{{9 + 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} \Rightarrow {m^2} = \dfrac{{45 - 9\sqrt 5 }}{2}\left( 2 \right)$ . Από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει το ${k^2} = \dfrac{{45 + 9\sqrt 5 }}{2}\,\,\left( 3 \right)$

Τώρα από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ προκύπτει : $\boxed{\dfrac{{AT}}{{AS}} = \sqrt {\dfrac{{{k^2}}}{{{m^2}}}} = \dfrac{k}{m} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 10:36 pm
Μαλαματένια λόγια από τριάρια.pngΗ υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου είναι τριπλάσια από το προς αυτήν ύψος .

Αν με τα σημεία τριχοτομήσουμε την , υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AC}{AB}$ και : $\dfrac{AT}{AS}$ .

$(ABC)= \dfrac{27}{2}= \dfrac{xy}{2} \Rightarrow xy=27$ και x^2+y^2=81

Άρα $x^2+y^2=81=3xy \Rightarrow (\dfrac{x}{y})^2+1=3 \dfrac{x}{y}$ και με $\dfrac{x}{y}=m$

παίρνουμε m^2-3m+1=0

με δεκτή ρίζα $m= \dfrac{3+ \sqrt{5} }{2}=1+ \Phi$ (αφού m>1)

Έστω τώρα $TE \bot AC$ και $SZ \bot AB$ .

Τότε,προφανώς(από ET//AB,SZ//AC)

$AZ= \dfrac{2y}{3} ,ZS= \dfrac{x}{3}$ και $AE= \dfrac{2x}{3} ,ET= \dfrac{y}{3}$

Επομένως με Π.Θ στα τρίγωνα AET,AZS

έχουμε $AT^2= \dfrac{4x^2+y^2}{9}$ και $AS^2= \dfrac{4y^2+x^2}{9}$

Άρα $\dfrac{AT^2}{AS^2} = \dfrac{4x^2+y^2}{4y^2+x^2}= \dfrac{4 (\dfrac{x}{y})^2+1 }{ (\dfrac{x}{y})^2 +4}= \dfrac{4( \Phi +1)^2+1}{ (\Phi +1)^2+4} \Rightarrow \dfrac{AT}{AS}= \sqrt{\dfrac{4( \Phi +1)^2+1}{ (\Phi +1)^2+4} }$

: μαλαματένια λόγια από τριάρια.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Μαλαματένια λόγια από τριάρια

Μαλαματένια λόγια από τριάρια

Re: Μαλαματένια λόγια από τριάρια

Re: Μαλαματένια λόγια από τριάρια

Re: Μαλαματένια λόγια από τριάρια

Μέλη σε σύνδεση