Εμβαδόν από αποστάσεις κορυφών ισόπλευρου τριγώνου

Al.Koutsouridis · #1

Έστω

ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

,

κάποιο σημείο του επιπέδου του, που βρίσκεται σε απόσταση

από το κέντρο του τριγώνου ABC

. Να αποδείξετε, ότι το εμβαδόν του τρίγωνου, οι πλευρές του οποίου είναι ίσες με τα τμήματα

,

και

, εκφράζεται από την σχέση

$S=\dfrac{\sqrt{3}}{12} \left | a^2-3d^2\right |$ .

#2

Με χρήση Αναλυτικής ... και της κατάλληλης μορφής του τύπου του Ήρωνα, $S=\dfrac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}:$

Αλλάζοντας το a σε s στο πρόβλημα που δόθηκε, και θέτοντας $A=\left(-\dfrac{s}{2},0\right), B=\left(\dfrac{s}{2},0\right), C=\left(0,\dfrac{s\sqrt{3}}{2}\right), M=(p,q)$ λαμβάνουμε $a^2=MA^2=\left(p+\dfrac{s}{2}\right)^2+q^2, b^2=MB^2=\left(p-\dfrac{s}{2}\right)^2+q^2, c^2=MC^2=p^2+\left(q-\dfrac{s\sqrt{3}}{2}\right)^2.$

Το κέντρο του ABC

είναι το $G=\left(0, \dfrac{s}{2\sqrt{3}}\right)$ , οπότε $d^2=MG^2=p^2+q^2+\dfrac{s^2}{12}-\dfrac{qs}{\sqrt{3}}.$

Η ζητούμενη $S=\dfrac{\sqrt{3}}{12}(s^2-3d^2)\leftrightarrow S^2=\dfrac{(s^2-3d^2)^2}{48}$ καθίσταται, μέσω Ήρωνα, ισοδύναμη προς την

12a^2b^2-3(a^2+b^2-c^2)^2=(s^2-3d^2)^2.

Αμφότερα τα μέλη προκύπτουν ίσα προς την ποσότητα

$9p^4+9q^4+\dfrac{9s^4}{16}+18p^2q^2-\dfrac{9p^2s^2}{2}-\dfrac{3q^2s^2}{2}-6p^2qs\sqrt{3}-6q^3s\sqrt{3}+\dfrac{3qs^3\sqrt{3}}{2}.$

Εμβαδόν από αποστάσεις κορυφών ισόπλευρου τριγώνου

Εμβαδόν από αποστάσεις κορυφών ισόπλευρου τριγώνου

Re: Εμβαδόν από αποστάσεις κορυφών ισόπλευρου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση