Πάνω από το μισό

KARKAR · #1

: Πάνω από το μισό.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Το ορθογώνιο ABCD

έχει διαστάσεις $a \times b , (a>b)$ . α) Υπολογίστε το

για το οποίο είναι : $\dfrac{(PQST)}{(ABCD)}=\dfrac{1}{2}$

β) Δείξτε ότι μπορούμε πάντα να σχεδιάζουμε ένα τετράπλευρο PQST

τέτοιο , ώστε να είναι : $\dfrac{(PQST)}{(ABCD)}>\dfrac{1}{2}$ .

#2

: Πάνω από το μισό.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

$\frac{{(PQST)}}{{(ABCD)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {a - x} \right)\left( {b - x} \right) = \frac{{ab}}{2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab = 0$

πού δίνει λύσεις $\displaystyle x = \frac{a}{2}\;\;\; \vee \;\;x = \frac{b}{2}$

$\frac{{(PQST)}}{{(ABCD)}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {a - x} \right)\left( {b - x} \right) < \frac{{ab}}{2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab < 0$

που έχει Διακρίνουσα $\displaystyle {\left( {a - b} \right)^2} > 0$ , οπότε όταν $\displaystyle \frac{b}{2} < x < \frac{a}{2}$ ισχύει η ανισότητα.

Οπότε υπάρχει πάντα τετράπλευρο (και μάλιστα παραλληλόγραμμο) που να ικανοποιεί την υπόθεση.

edit: Διόρθωσα αριθμητικό σφάλαμ με υπόδειξη του Θανάση.

KARKAR · #3

Πρόσθετο ερώτημα : Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του PQST

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 24, 2026 5:59 am
Πρόσθετο ερώτημα : Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .

: Πάνω από το μισό.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές

$\displaystyle (PQST) = (ABCD) - 2\left( {(APT) + (PBQ)} \right) = ab - {x^2} - (a - x)(b - x) = - 2{x^2} + (a + b)x$

που για $\boxed{x=\frac{(a+b)}{4}}$ έχει μέγιστο ίσο με $\boxed{(PQST)_{\rm max}=\frac{(a+b)^2}{8}}$

Πάνω από το μισό

Πάνω από το μισό

Re: Πάνω από το μισό

Re: Πάνω από το μισό

Re: Πάνω από το μισό

Μέλη σε σύνδεση