Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους!

Πριν λίγα χρόνια ένας μαθηματικός ζήτησε από τους μαθητές του στο Γυμνάσιο
να σχεδιάσουν σε κατάλληλο χαρτί το ακόλουθο:

: Ορέστης ο εξαιρετικός!.png (386.26 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

Τα τμήματα MA,ZH

τέμνονται κάθετα στο

. Έχουν μήκη AH=5, AZ=11

και

.

Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την ημιευθεία

στο

. Για το σημείο

ισχύουν

και $NM \perp AM$ .

Στη συνέχεια τους είπε να μετρήσουν με το μοιρογνωμόνιο την (κυρτή) γωνία MAN

Όλοι ..είδαν γωνία

μοιρών . Μόνο ο Ορέστης δεν την μέτρησε ,

αλλά με τις πάνω από την τάξη γνώσεις του, έκανε υπολογισμούς και βρήκε ότι είναι ανεπαίσθητα μικρότερη από 36^0

Όταν ρωτήθηκε αν είναι σίγουρος, απάντησε: << Εφόσον 15.125< 15.129

είναι και $\angle MAN < 36^0$ >>

Μπορούμε να δικαιολογήσουμε το συμπέρασμά του ;

$\bigstar$ (Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές ). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #2

Ωραίος ο Ορέστης

KARKAR · #3

Σίγουρα ο Ορέστης δεν θα δυσκολευτεί να δείξει ότι : $\dfrac{5-\sqrt{5}}{8} >\dfrac{19}{55}$

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2026 10:30 am
Καλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους!

Πριν λίγα χρόνια ένας μαθηματικός ζήτησε από τους μαθητές του στο Γυμνάσιο
να σχεδιάσουν σε κατάλληλο χαρτί το ακόλουθο:
Ορέστης ο εξαιρετικός!.png

Τα τμήματα τέμνονται κάθετα στο . Έχουν μήκη και .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την ημιευθεία στο . Για το σημείο ισχύουν και $NM \perp AM$ .

Στη συνέχεια τους είπε να μετρήσουν με το μοιρογνωμόνιο την (κυρτή) γωνία

Όλοι ..είδαν γωνία μοιρών . Μόνο ο Ορέστης δεν την μέτρησε ,

αλλά με τις πάνω από την τάξη γνώσεις του, έκανε υπολογισμούς και βρήκε ότι είναι ανεπαίσθητα μικρότερη από

Όταν ρωτήθηκε αν είναι σίγουρος, απάντησε: << Εφόσον είναι και $\angle MAN < 36^0$ >>

Μπορούμε να δικαιολογήσουμε το συμπέρασμά του ;

$\bigstar$ (Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές ). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

$\displaystyle A{E^2} = 11 \cdot 5 \Leftrightarrow AN = AE = \sqrt {55}$ και $NM=\sqrt{19}.$

: Η 36άρα.ΓΜ.png (9.88 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές

$\displaystyle {\tan ^2}\theta = \frac{{19}}{{36}},{\tan ^2}36^\circ = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}.$ Θα εξετάσω αν

$\displaystyle \frac{{19}}{{36}} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} \Leftrightarrow 57 + 19\sqrt 5 = 180 - 36\sqrt 5 \Leftrightarrow 55\sqrt 5 = 123 \Leftrightarrow 15125 = 15129$

που δεν ισχύει. Επειδή λοιπόν 15125<15129,

θα είναι $\boxed{\theta<36^\circ}$

Εκκρεμεί η απόδειξη του τύπου ${\tan ^2}36^\circ = \dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$

KARKAR · #5

Στην ίδια ακριβώς σύγκριση καταλήγουμε με χρήση του : $\sin36^0=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}$ και ενώ : $\sin\theta=\sqrt{\dfrac{19}{55}}$

#6

Λόγω φακέλου, θα αποδείξω τον τύπο ${\tan ^2}36^\circ = \dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$

$\displaystyle \sin (2 \cdot 18^\circ ) = \cos (3 \cdot 18^\circ ) \Leftrightarrow 2\sin 18^\circ \cos 18^\circ = \cos 18^\circ (4{\cos^2}18^\circ - 3) \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4{\sin^2}18^\circ + 2\sin 18^\circ - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 18^\circ = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}$

$\displaystyle \cos 36^\circ = 1 - 2{\sin ^2}18^\circ = 1 - \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}$

Άρα, $\displaystyle {\tan ^2}36^\circ = \frac{{1 - {{\cos }^2}36^\circ }}{{{{\cos }^2}36^\circ }} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$

Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Re: Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Re: Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Re: Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Re: Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Re: Όλοι βλέπουν 36άρα, πλην του Ορέστη

Μέλη σε σύνδεση