Ανισότητα σε τρίγωνο!

#1

Με αφορμή την ανισότητα του Vasile Cirtoaje, η οποία αναφέρεται στο τρίτο μήνυμα αυτής της δημοσίευσης:

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ . Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \right)\geq (a^2+b^2+c^2)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right).}$

Πρόκειται για την ανισότητα Walker. Μία απόδειξη γίνεται με χρήση της ανισότητας Cirtoaje που αναφέρθηκε παραπάνω, για κατάλληλη επιλογή των x,y,z

.

Ας αναζητήσουμε μία πιο ''γεωμετρική'' απόδειξη.

#2

Επαναφορά με μία υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Ας είναι $\displaystyle{\Omega}$ σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου, ώστε $\displaystyle{\angle CA\Omega =\angle AB\Omega =\angle BC\Omega =\omega}$ , δηλαδή το ένα σημείο Brocard του τριγώνου.

Αποδεικνύεται εύκολα (νόμος ημιτόνων) ότι ισχύει

$\displaystyle{\boxed{\rm A\Omega =2R\sin \omega \frac{c}{a}, B\Omega =2R\sin \omega \frac{a}{b},C\Omega =2R\sin \omega \frac{b}{c}}}$

Επίσης είναι γνωστό ότι η γωνία Brocard $\displaystyle{\omega}$ ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle{\boxed{\rm \sin ^2 \omega =\frac{4(ABC)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}}$

Τέλος, ισχύει η ανισότητα Leibniz, $\displaystyle{\rm 3(MA^2+MB^2+MC^2)\geq a^2+b^2+c^2,}$ η οποία αν εφαρμοστεί για $\displaystyle{M\equiv \Omega}$ δίνει τη ζητούμενη.

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο!

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο!

Μέλη σε σύνδεση