Θαλής 2010-2011

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3997
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Θαλής 2010-2011

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:12 pm

Σας επισυνάπτω τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού "Ο ΘΑΛΗΣ".

Αλέξανδρος
Συνημμένα
Θεματα ΘΑΛΗ 30-10-2010.pdf
(302.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 1282 φορές


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θαλής 2010-2011

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:16 pm

Μπράβο Αλέξανδρε και τα ήθελα!! Γρήγορος όπως πάντα!

Με μια γρήγορη ματιά, δεν είναι απαιτητικά, σωστά; Πως τα χαρακτήρισαν οι μαθητές;


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Θαλής 2010-2011

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:22 pm

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ - Θέμα 2ο

Υπόδειξη

Το ΒΕΓΚ είναι εγγράψιμο διότι οι γωνίες ΒΕΔ,ΒΖΔ,ΒΓΔ είναι ίσες, οπότε (μετρικά με δύναμη) και το ΔΖΓΚ είναι εγράψιμο. Άρα οι γωνίες ΚΓΔ,ΚΖΔ είναι ίσες.Όμως και οι γωνίες ΒΖΑ και ΒΓΑ είναι ίσες. Έστι στο τρίγωνο ΖΒΛ το τμήμα ΖΔ είναι ύψος και διάμεσος.

Τη λύση αυτή κάναμε με το Θανάση Μπεληγιάννη(mathfinder) μόλις τώρα στο εξεταστικό στη Χαλκίδα. Καλή άσκηση ομολογουμένως και μέσης δυσκολίας.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θαλής 2010-2011

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:33 pm

Μια που δίνουμε λύσεις, θα δώσω τα αποτελέσματα στην Γ Λυκείου Θέμα 1ο

Λύστε την εξίσωση: \displaystyle{{\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right)^3} - {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^3} = 7{\left( {{x^2} - 1} \right)^3}}

Με απλή παραγοντοποίηση και πράξεις, βρίσκουμε λύσεις: χ =0 , -1 , 1

αν κάποιος θέλει και την λύση, εύκολα μπορούμε να την γράψουμε
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Σάβ Οκτ 30, 2010 12:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Θαλής 2010-2011

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:35 pm

Β' Λυκείου - Θέμα 4

Υπόδειξη

Το τρίγωνο ΕΒΑ είναι ισοσκελές, όπως και το τρίγωνο ΜΑΒ .Άρα η ΕΜ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.Το Μ είναι επίσης μέσο του ΒΓ. Συνεπώς η ΜΕ και η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ.Αν θέλουμε το δικαιολογούμε και ως εφαρμογή του θεωρήματος του βόρειου πόλου(...).

Τη λύση κάναμε με το φίλο Θανάση Μπεληγιάννη την ώρα του διαγωνισμού.

Μπάμπης


Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θαλής 2010-2011

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:40 pm

Β Λυκείου:

Θέμα 1ο

Τετραγωνισζουμε κατα μέλη λαμβανοντας περιορισμό x,y,z>=2 Προσθέτουμε κατα μέλη τις 3 ισοτητες που προκύπτουν και βγαίνει x+y+z=6. Αντικαθιστουμε στην πρώτη το -y-z με το 6-χ και βγαίνει εξίσωση μονο με χ
Τελικά x=y=z=2



Θέμα 3ο

Με BCS ή αντικατάσταση του y με 4-x. Ισότητα αν-ν x=y=2

Θέμα 4ο

Η ΜΒ εφάπτεται του περικυκλου ΑΕΒ. Αρα ΜΒ=ΜΑ. Συγκρινουμε τριγωνα και βγαίνει ΜΕ διχοτομος αρα και μεσοκαθετος της ΑΒ. Όμως η διχοτομος μιας γωνίας και η μεσοκαθετος της απεναντι πλευράς στο τρίγωνο τέμνονται πάνω στον περιγγεγραμμένο κύκλο


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Θαλής 2010-2011

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:43 pm

A λυκείου Θέμα 2

\displaystyle{\begin{array}{l} 
 {a^2}\left( {{a^2} + 2a\beta  + {\beta ^2}} \right) - {\beta ^2}{\gamma ^2}\left( {{a^2} + 2a\beta  + {\beta ^2}} \right) - {a^2}{\gamma ^2} + {\beta ^2}{\gamma ^4} = {\left( {\alpha  + \beta } \right)^2}\left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}{\gamma ^2}} \right) - {\gamma ^2}\left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}{\gamma ^2}} \right) =  \\  
  = \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}{\gamma ^2}} \right)\left( {{{\left( {\alpha  + \beta } \right)}^2} - {\gamma ^2}} \right) = \left( {\alpha  - \beta \gamma } \right)\left( {\alpha  + \beta \gamma } \right)\left( {\alpha  + \beta  - \gamma } \right)\left( {\alpha  + \beta  + \gamma } \right) \\  
 \end{array}}


Χρήστος Καρδάσης
userresu
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 2:07 pm

Re: Θαλής 2010-2011

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από userresu » Σάβ Οκτ 30, 2010 12:52 pm

Γ λυκείου 4ο θέμα :
Φέρνω τα ύψη Ο1Κ και Ο2Λ στα τριγωνα ΑΟ1Μ και ΒΟ2Μ. Τότε <ΒΑΜ=<ΑΟ1Κ και <ΑΒΜ=<ΒΟ2Λ.
Παίρνω νομο ημιτονων στο ΑΒΜ (1), ημΑΟ1Κ=ΚΑ/Ο1Α (2) και ημΒΟ2Μ=ΛΒ/Ο2Β (3)

Από (1)(2)(3) συμπεραίνω ότι \frac{AM^2}{BM^2}=\frac{r1}{r2} άρα έπεται το ζητούμενο.
τελευταία επεξεργασία από userresu σε Σάβ Οκτ 30, 2010 1:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 401
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: Θαλής 2010-2011

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:00 pm

Να σημειώσω ότι το τρίτο θέμα της B λυκείου ήταν απλή εφαρμογή της ανισότητας Andreescu.

Πώς τα πήγατε,παιδιά στο διαγωνισμό;;;

(Και ειδική ερώτηση απευθύνω στους φίλους μου chris,kwstas12345 και dreamkiller)


Νίκος Αθανασίου
nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 401
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: Θαλής 2010-2011

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:08 pm

Κατά τη γνώμη μου τα θέματα της B Λυκείου είχαν γεωμετρία λίγο δύσκολη για Θαλή,ίσως περισσότερο κατάλληλη για Ευκλείδη.Τι πιστεύετε;;;;

Φιλικά,
Νίκος


Νίκος Αθανασίου
BILL_FC
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 15, 2009 4:48 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θαλής 2010-2011

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BILL_FC » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:08 pm

Γεια σας κι από μένα... (Παρακολουθώ το forum αρκετό καιρό αλλά δεν έτυχε να γραψω)
Καλούτσικα έγραψα, χοντρικα 3/4. Λοιπόν, τα 3 πρώτα θέματα της Β Λυκείου που έγραφα ήταν σχετικά απλά, αλλά το 4ο δεν το έβγαλα :wallbash:

Για το 3ο μπορούμε επίσης να αναπτύξουμε τα τετράγωνα και να πούμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι 1/χ + 1/y >=1 , το οποίο με αντικατάσταση του χ ή του y και λίγες πράξεις καταλήγει σε (y-2)^2 >=0
Βέβαια έβγαινε πιο γρήγορα και με την περίφημη andrescu... :D


Βασίλης
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θαλής 2010-2011

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:10 pm

Οι λύσεις απο ΕΜΕ
Συνημμένα
thalis_2010_solutions.pdf
(645.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 1084 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θαλής 2010-2011

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:11 pm

Το θέμα 3 της Γ Λυκείου δεν μοιάζει λίγο με το θέμα που είχε προτείνει ο Δημήτρης viewtopic.php?f=12&t=7703&p=43964&hilit ... %82#p43964; Το θέμα της άσκησης και όχι η λύση και τα ζητούμενα... που υπόψιν η λύση είναι καταπληκτική (64 αθλητές)!!

Εγώ πάντως αυτό σκέφτηκα με την μία όταν το είδα!!
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Σάβ Οκτ 30, 2010 1:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Mulder
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 22, 2009 6:43 pm

Re: Θαλής 2010-2011

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mulder » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:19 pm

πολύ ωραίο το 3ο θέμα Γ' Λυκείου

Μία λύση:

α)Οι αγώνες είναι x=2^{3k-1}+2^{3k-2}+...+1 και με επαγωγή στο k , το x βγαίνει πολλαπλάσιο του 7

β)10+20+...+x=210\Leftrightarrow 10(1+2+...+x)=10.21\Leftrightarrow 1+2+...+x=21\Leftrightarrow x=6

Άρα έγιναν 6 γύροι και δουλεύουμε ανάποδα:

6ος γύρος--> 2 παίκτες
5ος << --> 4 <<
4ος << --> 8 <<
3ος << --> 16 <<
2ος << --> 32 <<
1ος << --> 64 <<
τελευταία επεξεργασία από Mulder σε Σάβ Οκτ 30, 2010 1:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Θαλής 2010-2011

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:27 pm

Πιστευω οτι οι αλγεβρες ηταν ευκολες. Ελυσα 4/4. Μια ερωτηση: γινοταν να παρω κατευθειαν οτι "η διχοτομος μιας γωνίας και η μεσοκαθετος της απεναντι πλευράς στο τρίγωνο τέμνονται πάνω στον περιγγεγραμμένο κύκλο" ή επρεπε να το αποδειξω? εγω το απεδειξα.
1η μου δημοσιευση στο φορουμ.Καλη αρχη.
Αντωνης


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Θαλής 2010-2011

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:33 pm

Με συγχωρειτε. Παρελειψα να αναφερω οτι μιλαω για τα θεματα της Β' Λυκειου.
Ευχαριστω
Αντωνης


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5490
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Θαλής 2010-2011

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:39 pm

Καλά θεματάκια Πράγματι.
Γιά το 4ο θέμα της Γ λυκείου το απόλυτο πλεονέκτημα το έχει αυτός που γνωρίζει ότι η κοινή χορδή (ή η κοινή εφαπτομένη) διχοτομεί το ΑΒ (ριζικός άξονας-εφαρμογή) οπότε γίνεται πανεύκολη, αφού η γωνία <ΑΤΜ είναι οξεία (λόγω της διάταξης των ακτίνων) * .Μάλλον είναι γιά ενημερωμένους λύτες (η επιτροπή της Ε.Μ.Ε. προφανώς θα το έχει διδάξει στις συνεδρίες της σαν βασική γνώση που είναι) αφού στηρίζεται σε γνωστές διαδικασίες.

*Ο ριζικός άξονας καθίσταται η ευθεία της διαμέσου του τριγώνου ΜΑΒ.

S.E.Louridas
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Σάβ Οκτ 30, 2010 2:00 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Dreamkiller
Δημοσιεύσεις: 263
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 12:52 pm

Re: Θαλής 2010-2011

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dreamkiller » Σάβ Οκτ 30, 2010 1:49 pm

Έδινα Γ' Λυκείου σήμερα.
Έλυσα το 1ο αντικατάσταση.
Το 2ο δεν το έλυσα πλήρως αφού αντί να πάω με γωνίες πήγα με μετρικές σχέσεις και Μενέλαο και χάθηκα κάπως στην πορεία.
Το 3ο ήταν αρκετά εύκολο.
Το 4ο το πήγα καθαρά με γωνίες βασιζόμενος στο ότι απέναντι από τη μικρότερη γωνία είναι η μικρότερη πλευρά κ.λ.π..

Σε γενικές γραμμές ήταν όμορφα. Προσωπικά, ήθελα μία θεωρία αριθμών αντί για δεύτερη γεωμετρία αλλά εντάξει.

Καλά αποτελέσματα σε όλους!


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θαλής 2010-2011

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Σάβ Οκτ 30, 2010 2:18 pm

Στο δεύτερο της Γ έχει κάνει κανείς την επίσημη λύση που δίνει η ΕΜΕ? :roll: Εγώ πάντως τη λύση του κ.Στεργίου στο 3ο post έχω...Παρεπιπτόντως το 3ο της Γ ήταν όμορφο επίσης(αλλά εύκολο).Ενα διαφορετικό τελείωμα είναι:

Αν n το πλήθος των αγώνων τότε είναι n=2^{3k-1}+2^{3k-2}+...+2+1=2^{3k}-1=8^k-1
Όμως 8\equiv 1mod7\Rightarrow 8^k\equiv 1mod7\Rightarrow 8^k-1\equiv 0mod7\Rightarrow 7\mid n

Καλή επιτυχία σε όλους!!!


ΥΓ: Μόλις είδα το μύνημα του Νίκου πιο πάνω...Μια χαρά Νίκο όπως και εσύ φαντάζομαι :biggrin:


Στραγάλης Χρήστος
nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 401
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: Θαλής 2010-2011

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Σάβ Οκτ 30, 2010 2:33 pm

Χρήστο,σωστά φαντάζεσαι!!! :lol: :lol: :lol:

Κι εγώ τα πήγα πολύ καλά.Χαίρομαι που ισχύει το ίδιο και για σένα.


Νίκος Αθανασίου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες