Φραγμενη και επαγωγή

MANOLISMATHS · #1

Να ρωτησω κατι

μπορουμε να ισχυριστουμε τον ακολουθο συλλογισμο
Έστω η ακολουθια $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$ με $a_{1}=\sqrt{2}$
και λεει να δειξετε οτι η ακολουθια ειναι φραγμένη
Η ακολουθια ειναι σιγουρα κατω φραγμενη αφου ειναι τετραγωνικη ριζα θετικου αριθμου αρα ειναι μεγαλυτερη του 0
αρκει να δειξω οτι ειναι και φραγμενη απο τα ανω
και λέω οτι έστω ενα ανω φραγμα ολης της ακολουθιας ειναι το 2
o πρωτος όρος ειναι μικρότερος του 2
Έστω ότι η $a_{n}<2$ τότε αρκεί το $a_{n+1}<2\Leftrightarrow \sqrt{2+a_{n}}<2\Leftrightarrow 2+a_{n}<4\Leftrightarrow a_{n}<2$ που ισχύει απο την υπόθεση μας
Στέκει σαν συλλογισμός ή όχι?

MANOLISMATHS · #2

Ένα δευτερο παράδειγμα

Να δειξετε οτι η ακολουθια με αναδρομικο τυπο $a_{n+1}=\frac{2a_{n}+4}{3}$ και με $a_{1}=0$ είναι αυστηρώς αύξουσα
και λέω αρκεί $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1\Leftrightarrow \frac{2a_{n}+4}{3a_{n}}>1\Leftrightarrow a_{n}<4$
και λέω πάλι αρκεί να δείξω οτι ειναι άνω φραγμένη απο το 4 και λέω ο πρώτος όρος $a_{1}=0<4$
Έστω οτι $a_{n}<4$ αρκεί $a_{n+1}<4\Leftrightarrow \frac{2a_{n}+4}{3}<4\Leftrightarrow 2a_{n}+4<12\Leftrightarrow 2a_{n}<8\Leftrightarrow a_{n}<4$ που ισχύει

Ισχύει ενα τέτοιο σκεπτικό
και μια παράλληλη ερώτηση τα φράγματα που έχω σκεφτεί είναι τα supremum και πως μπορω να το ελέγχω??

#3

MANOLISMATHS έγραψε: Ισχύει ενα τέτοιο σκεπτικό
και μια παράλληλη ερώτηση τα φράγματα που έχω σκεφτεί είναι τα supremum και πως μπορω να το ελέγχω??

Ναι, σωστά είναι αυτά που γράφεις (αλλά και τα βήματα περιέχουν διάφορα περιττά. Π.χ. για την πρώτη αρκεί να πεις τα μισά: για το επαγωγικό βήμα έχουμε $a_n < 2 \Rightarrow a_{n+1}= \sqrt{a_n+2}<\sqrt{2+2}=4)$ .

Τώρα, και οι δύο ακολουθίες είναι αύξουσες και άνω φραγμένες. Ως γνωστόν, τέτοιες ακολουθίες συγκλίνουν και μάλιστα το όριό τους είναι το supremum τους (η απόδειξη υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης). Στις συγκεκριμένες ακολουθίες, εύκολα βλέπουμε ότι τα όρια είναι 2 και 4 αντίστοιχα (προκύπτουν από τις λύσεις των εξισώσεων $x = \sqrt {x+2}\,$ και $x = \frac {2x+4}{3},$ αντίστοιχα).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

RodGer · #4

MANOLISMATHS έγραψε:[...]έστω ενα ανω φραγμα ολης της ακολουθιας ειναι το 2
o πρωτος όρος ειναι μικρότερος του 2
Έστω ότι η $a_{n}<2$ τότε αρκεί το $a_{n+1}<2\Leftrightarrow \sqrt{2+a_{n}}<2\Leftrightarrow 2+a_{n}<4\Leftrightarrow a_{n}<2$ που ισχύει απο την υπόθεση μας
Στέκει σαν συλλογισμός ή όχι?

Δεν έχω ιδιαίτερη εμπειρία και γνώσεις πάνω στο θέμα αλλά θα ήθελα να προτείνω έναν τρόπο που ίσως μπορεί να δείξει ότι ο παραπάνω συλλογισμός είναι λάθος (ώστε να ψάξεις για έναν σωστότερο τρόπο αντιμετώπισης του προβλήματος).

Έστω η ακολουθία με αναδρομικό τύπο $a_{n+1}=2a_{n}$ , $a_{1}=1$ Θα δείξω ότι το 100 είναι ένα άνω φράγμα.
Για n=1 ισχύει. Έστω ότι $a_{n}<100$ .Τότε αρκεί το $a_{n+1}<100 \Leftrightarrow 2a_{n}<100 \Leftrightarrow a_{n}<50$ που ισχύει από το επαγωγικό βήμα αφού 50<100.

Ακολουθώντας τον ίδιο συλλογισμό αποδείξαμε κάτι που προφανώς δεν ισχύει. Άρα ή ο συλλογισμός είναι λάθος ή εγώ έκανα κάποιο λάθος. Δεν ξέρω όμως που ακριβώς... Πολύ θα ήθελα να μάθω όμως. Γι' αυτό θα περιμένω κι εγώ την απάντηση κάποιου που ξέρει καλύτερα.

Φιλικά,
R.

//Με πρόλαβαν και από την απάντηση που βλέπω μάλλον εγώ κάνω κάποιο λάθος αλλά και πάλι δεν καταλαβαίνω ποιο είναι αυτό.

#5

RodGer έγραψε:.
Για n=1 ισχύει. Έστω ότι $a_{n}<100$ .Τότε αρκεί το $a_{n+1}<100 \Leftrightarrow 2a_{n}<100 \Leftrightarrow a_{n}<50$ που ισχύει από το επαγωγικό βήμα αφού 50<100.

Αγαπητέ RodGer,

Όχι δεν είναι σωστός ο συλλογισμός. Το σφάλμα είναι λεπτό, και το σημείωσα χρωματισμένο.

Ίσως ο ευκολότερος τρόπος να δούμε το σφάλμα είναι να πάμε με λόγια, αντί για σύμβολα.

Λέμε (επαγωγική υπόθεση) έστω ότι a_n <100

. Μετά λέμε (διαβάζω αυτό που γράφεις, αλλά κρατάω μόνο τα $"\Rightarrow "$ ).

"Αν $a_{n+1}<100$ τότε $2a_{n}<100$ και άρα $a_{n}<50$ "

Ρωτάμε τώρα, είναι το τελευταίο αληθές; Δηλαδή, αν a_n <100

βγαίνει το συμπέρασμα ότι $a_{n}<50$ ; Η απάντηση είναι βέβαια όχι αλλά παραπάνω (στο χρωματισμένο) είπες ναι.

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης

RodGer · #6

Πράγματι! Μάλλον βιάστηκα και σκέφτηκα ανάποδα. Ίσως πρέπει να κάνω πιο συχνά διαλείμματα για να έχω πιο καθαρό μυαλό.

Φραγμενη και επαγωγή

Φραγμενη και επαγωγή

Re: Φραγμενη και επαγωγή

Re: Φραγμενη και επαγωγή

Re: Φραγμενη και επαγωγή

Re: Φραγμενη και επαγωγή

Re: Φραγμενη και επαγωγή

Μέλη σε σύνδεση