Σύνθεση.

Plutarch · #1

Έστω $f:R \rightarrow R$ για την οποία ισχύει f(f(x))=2x+1

, για κάθε $x \epsilon R$ .
α) Να δείξετε ότι η

είναι

β) Να δείξετε ότι $f(2x+1)=2f(x)+1, \quad x \epsilon R$ .
γ) Δείξτε ότι f(R)=R

και να βρείτε την $f^{-1}$
δ) Δείξτε ότι $f(\frac{f(x)-1}{2})=x$

Νασιούλας Αντώνης · #2

α) $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow f(f(x _{1}))= f(f(x _{2}))\Rightarrow 2x_{1}+1=2x_{2}+1\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ , άρα η f "1-1".
B)για x=f(x) στην αρχική παίρνουμε το ζητούμενο
γ)Θεωρούμε $x_{0}=f(\frac{y_{0}}{2}-\frac{1}{2})$ και έχουμε $f(x_{0})=f(f(\frac{y_{0}}{2}-\frac{1}{2}))=y_{0}$ .
Άρα για κάθε $y_{0}$ υπάρχει $x_{0}$ έτσι ώστε $f(x_{0})=y_{0}$ . Επομένως η f έχει Σ.Τ. το R.
Θέτω στην αρχική $x=f^{-1}(x)$ και έχω $f(x)=2f^{-1}(x)+1\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{f(x)-1}{2}$
δ)Είναι $f(\frac{f(x)-1}{2})=f(f^{-1}(x))=x$

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

Επειδή έδωσε τη λύση ο Αντώνης διαγράφω τη λύση μου μιας και είναι πανομοιότυπη.

Plutarch · #4

Μία απορία όσον αφορά το 3ο ερώτημα. Επειδή η άσκηση αναφέρει να βρεθεί η $f^{-1}(x)$ , στην πράξη μας ζητεί να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης. (Προφανώς, έχει ξεχάσει να γραφεί να βρεθεί η $f^{-1}(x)$ συναρτήσει της f(x)

).
Ωστόσο, οι συναρτήσεις της μορφής $f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d}$ και f(x)= ax+b

(η οποία προκύπτει από την πρώτη για c=0, d=0

)έχουν σύνθεση της μορφής f(f(x))=a'x+b'

, επειδή όμως η

έχει Π.Ο το

, πρώτη μορφή απορίπτεται. Η δεύτερη μορφή μας δίνει δύο συναρτήσεις την $f(x)=\sqrt2 x+\sqrt2-1$ ή την $f(x)=-\sqrt2 x-\sqrt2-1$ ( ή όλους τους πιθανούς συνδιασμούς τους στο Π.Ο), οι οποίες αντίστοιχα δίνουν δύο αντίστροφες. Έχω την αίσθηση, χωρίς να μπορώ να το αποδείξω ότι δεν υπάρχουν άλλες μορφές που να επαληθεύουν την σχέση, είναι έτσι η έτσι νομίζω?

A.Spyridakis · #5

Plutarch έγραψε:Μία απορία όσον αφορά το 3ο ερώτημα. Επειδή η άσκηση αναφέρει να βρεθεί η $f^{-1}(x)$ , στην πράξη μας ζητεί να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης. (Προφανώς, έχει ξεχάσει να γραφεί να βρεθεί η $f^{-1}(x)$ συναρτήσει της ).
Ωστόσο, οι συναρτήσεις της μορφής $f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d}$ και (η οποία προκύπτει από την πρώτη για )έχουν σύνθεση της μορφής , επειδή όμως η έχει Π.Ο το , πρώτη μορφή απορίπτεται. Η δεύτερη μορφή μας δίνει δύο συναρτήσεις την $f(x)=\sqrt2 x+\sqrt2-1$ ή την $f(x)=-\sqrt2 x-\sqrt2-1$ ( ή όλους τους πιθανούς συνδιασμούς τους στο Π.Ο), οι οποίες αντίστοιχα δίνουν δύο αντίστροφες. Έχω την αίσθηση, χωρίς να μπορώ να το αποδείξω ότι δεν υπάρχουν άλλες μορφές που να επαληθεύουν την σχέση, είναι έτσι η έτσι νομίζω?

Μια σκέψη:
Αν ίσχυε το γνωστό $\displaystyle f(ax+by)=af(x)+bf(y)\ \ \forall x,y \in R$ , τότε, ως γνωστόν, η f θα ήταν γραμμική, οπότε θα ήταν πράγματι της μορφής f(x) = mx + c

.
Τώρα όμως, γενικά από το γεγονός ότι f(f(x))=a'x+b'

, δε νομίζω ότι μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γραμμική. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη σχέση f(f(x))=x

. Αποδεικνύεται (όπως παραπάνω) ότι η f είναι 1-1, άρα η σχέση ισοδύναμα γράφεται $f(x)=f^{-1}(x)$ . Δηλ. η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την y=x. Εντελώς διαισθητικά, νομίζω ότι μπορούμε να βρούμε άπειρες συναρτήσεις (και όχι απαραίτητα συνεχείς) που οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν άξονα συμμετρίας την y=x, όχι απαραίτητα γραμμικές.
Η $\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {-x + 3,}&{ \alpha v \ \ x \leq 1},\ \vee \ x \geq 2\\ {\frac{2}{x},}&{\alpha v \ \ x \in (1, 2) } \end{array}} \right.}$ είναι μια τέτοια (και συνεχής).

Plutarch · #6

Προσωπικά, αυτό είναι αρκετό για να μου λύσει την απορία. Δεν ήταν έτσι τελικά, επειδή έτσι νόμιζα. Ευχαριστώ

makisman · #7

για το ερώτημα γ. με άτοπο

έστω οτι $f(R)\neq R$ ,τότε υπάρχει $y_{o}\epsilon R$ ώστε $f(x)\neq y_{o}$ για κάθε $x\epsilon R$

Εφόσον f "1-1" τότε $f(f(x))\neq f(y_{o})$ για κάθε $x\epsilon R$

άρα $2x+1\neq f(y_{o})$ για κάθε $x\epsilon R$

τότε $x\neq \frac{f(y_{o})-1}{2}$ για κάθε $x\epsilon R$

δηλαδη ο x δεν παίρνει όλες τις τιμές στο R ,άτοπο

Συνεπώς f(R)=R

harinho7 · #8

μπορω να λυσω το 3 ερωτημα ετσι??
θετω β=2χ+1 β-1=2χ χ=β-1/2
οποτε φ(φ(β-1/2))=2β-1
θετω α=φ(β-1/2) οποτε φ(α)=2β-1

#9

harinho7 έγραψε:μπορω να λυσω το 3 ερωτημα ετσι??
θετω β=2χ+1 β-1=2χ χ=β-1/2
οποτε φ(φ(β-1/2))=2β-1
θετω α=φ(β-1/2) οποτε φ(α)=2β-1

To σωστό, εκεί που έχω χρωματίσει, είναι

"οπότε φ(φ(β-1/2))=β".

Από αυτό έπεται ότι f(f(R)) = R (πώς;).

Επίσης μη ξεχνάς ότι το 3 ερώτημα έχει και άλλη, δεύτερη, ερώτηση.

Καλή προσπάθεια.

Μ.

Σύνθεση.

Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Re: Σύνθεση.

Μέλη σε σύνδεση