Από mathlinks

mathxl · #1

Έστω η συνάρτηση $f(\theta) = \int_0^1 |\sqrt {1 - x^2} - \sin \theta|dx$ με $0\leq \theta \leq \frac {\pi}{2}$
1) Να μελετήσετε την f ως προς τα ακρότατα
2) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $\int_0^{\frac {\pi}{2}} f(\theta)\ d\theta$

dimgiann · #2

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά.
Για το ερώτημα (α)
Νομίζω ότι η συνάρτηση $f(\theta)$ υπολογίζει το εμβαδόν που περικλείται από την συνάρτηση $\sqrt{1-x^2}$ την οριζόντια y=α με $0\leq a \leq 1 , a=sin\theta$ και τις κατακόρυφες x=0

.
Μετατρέποντας το με την αντίστροφη το εμβαδόν αυτό είναι ίσο με $f(\alpha)= \int^{a}_{0} x^2dx+ \int^{1}_{a} (1-x^2)dx$ δηλαδή $f(\alpha)=\frac{2a^3}{3}-a+\frac{2}{3}$ με $0\leq a \leq 1$ οπότε ζητάμε τα ακρότατα τα οποία προκύπτουν εύκολα για α=0 μέγιστο οπότε είναι θ=0 και για $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ελάχιστο δηλαδή θ=π/2
Δημήτρης Γ.

mathxl · #3

Καλημέρα
Καλή η παρατήρηση σου για το εμβαδό.Ωστόσο εάν προσέξεις καλά, θα δεις ότι πρόκειται για τεταρτοκύκλιο στο [0,1] το οποίο έχει ως αντίστροφη τον εαυτό του. Εδώ νομίζω ότι έχεις και το λάθος(στον τύπο της αντίστροφης- μήπως μπερδεύτηκες από την κλασική αντιστροφή $\displaystyle{\sqrt x \to {x^2}}$ );. Κατά τα άλλα δεν βλέπω να βοηθά η αντίστροφη(το ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{x}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }}} \left| {x - \alpha } \right|dx}$ ).

mathfinder · #4

Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά .
Επισυνάπτω μία λύση με εμβαδά για την άσκηση . Το σχήμα δεν είναι και το καλύτερο δυνατό.

hsiodos · #5

Επισυνάπτω μια κάποια προσέγγιση του θέματος. Ελπίζω να μην κάνω λάθος.
Γιώργος

dimgiann · #6

Πολυ σωστα! Ειναι εντελως λανθασμενη η λύση που αναφέρω. Με παρέσυρε μία κακή, πρόχειρη γραφική παράσταση με διαφορετική κλίμακα στους δύο αξονες. Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και τις ομορφες λύσεις.
Δημήτρης Γ.

mathxl · #7

Μία άλλη προσέγγιση

mathxl · #8

Θανάση δεν κάνουμε μόνο εμείς λάθη(οπότε αγνόησε το μήνυμα μου-παρασύρθηκα από τον παρακάτω σύνδεσμο χωρίς να την λύσω)
δείτε εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=261340

Από mathlinks

Από mathlinks

Re: Από mathlinks

Re: Από mathlinks

Re: Από mathlinks

Re: Από mathlinks

Re: Από mathlinks

Re: Από mathlinks

Re: Από mathlinks

Μέλη σε σύνδεση