Υπάρχουν; Πραγματικές συναρτήσεις ΙΙ

[7apostolis]

Καλημέρα,
θα θέσω μερικές ερωτήσεις σχετικά με ύπαρξη ή μη πραγματικών συναρτήσεων
με κάποιες "περίεργες" ιδιότητες:

α)Υπάρχει συνάρτηση (R->R) παντού πεπερασμένη και παντού τοπικά μη φραγμένη;

β)Υπάρχει συνάρτηση [0, 1]->R φραγμένη χωρίς τοπικά ακρότατα;

γ)Υπάρχει συνάρτηση συνεχής σε κάθε άρρητο και ασυνεχής σε κάθε ρητό;

δ)Υπάρχει συνάρτηση συνεχής σε κάθε ρητό και ασυνεχής σε κάθε άρρητο;

Θα βάλω απαντήσεις σε ξεχωριστό doc για να μην επηρεάσω όποιον θέλει να τις προσπαθήσει.

Μερικές ερωτήσεις που μπορούμε να κάνουμε σε μαθητές (με έφεση στα μαθηματικά και χωρίς
άγχος για τις εξετάσεις): (το παιχνίδι παίζεται στο πεδίο ορισμού που προφανώς δεν μπορεί να είναι υποσύνολο του R (λόγω της πληρότητας του R))

α)Δώσε παράδειγμα συνάρτησης συνεχούς σ΄ένα κλειστό διάστημα και μη φραγμένης σ' αυτό

β)Δώσε παράδειγμα συνάρτησης συνεχούς και φραγμένης σ΄ένα κλειστό διάστημα που δεν παίρνει μέγιστη τιμή σ' αυτό

γ)Η f(x)=x^2 στο [1, 2]τομήQ(ρητοί) ικανοποιεί το θεωρ. ενδιαμέσων τιμών;

Βιβλιογραφία:Gelbaum-Olmsted: Counterexamples in analysis (ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ και εύκολο βιβλίο)
Rooij-Schikhof: A second course on real functions (ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ πιο δύσκολο)

Α. Παπαδογιαννάκης

[dement]

α)Υπάρχει συνάρτηση (R->R) παντού πεπερασμένη και παντού τοπικά μη φραγμένη;

Ας κανω την αρχη. Θετοντας για και για εχουμε νομιζω τη συναρτηση μας.

Δημητρης Σκουτερης

[7apostolis]

Δημήτρη συνέχισε έτσι,
ώστε να μη χρειαστεί να γράψω τις απαντήσεις!

[Demetres]

Βιβλιογραφία:Gelbaum-Olmsted: Counterexamples in analysis (ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ και εύκολο βιβλίο)
Rooij-Schikhof: A second course on real functions (ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ πιο δύσκολο)

Το βιβλίο των Gelbaum-Olmsted είναι πράγματι καταπληκτικό. Το άλλο βιβλίο δεν το γνώριζα αλλά ανυπομονώ να το κοιτάξω

α)Υπάρχει συνάρτηση (R->R) παντού πεπερασμένη και παντού τοπικά μη φραγμένη;

β)Υπάρχει συνάρτηση [0, 1]->R φραγμένη χωρίς τοπικά ακρότατα;

Θα δώσω μια διαφορετική λύση από αυτή του Δημήτρη για τα (α). Η μέθοδος δουλεύει και για το (β) και είναι γνωστή ως "just do it".

Για το (α), αρκεί να βρω μια συνάρτηση (πεπερασμένη παντου) η οποία σε κάθε διάστημα παίρνει τις τιμές 1,2,3,... Αρκεί επίσης να δείξω ότι παίρνει τις τιμές 1,2,3,... σε κάθε διάστημα με ρητό κέντρο και ρητή ακτίνα. Έχουμε αριθμήσιμο αριθμό τέτοιων διαστημάτων. Παίρνουμε σημεία στο πρώτο διάστημα και ορίζουμε . Παίρνουμε στο δεύτερο διάστημα, διαφορετικά των και ορίζουμε κ.τ.λ. Η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί αφού κάθε διάστημα έχει υπεραριθμήσιμο αριθμό σημείων. Τέλος ορίζουμε την f αυθαίρετα σε κάθε σημείο που δεν την έχουμε ορίσει ακόμη.

Για το (β) κάνουμε ακριβώς την ίδια διαδικασία μόνο που ζητάμε η f να παίρνει τις τιμές 1-1/2,1-1/3,1-1/4,... και -(1-1/2),-(1-1/3),... σε κάθε διάστημα. Στο τέλος δεν μπορούμε να ορίσουμε την f αυθαίρετα στα υπόλοιπα σημεία, αλλά αν την ορίσουμε να παίρνει την τιμή 0 , τότε είμαστε εντάξει.