μέγιστο εμβαδό

[petros r]

Για το τρίγωνο ABC ισχύει Ποιό είναι το μέγιστο εμβαδό του?

[Mihalis_Lambrou]

Για το τρίγωνο ABC ισχύει Ποιό είναι το μέγιστο εμβαδό του?

Edít: διόρθωσα ένα υπολογιστικό σφάλμα. Η απάντηση τώρα αλλάζει.

Απάντηση: AB=1, BC = 2, CA = .

Έχω και γεωμετρική λύση, αλλά βάζω μία περίεργη με παραγώγους.

H υπόθεση είναι , όπου τα a, b, c είναι πλευρές τριγώνου. Από τις τριγωνικές ανισότητες που πρέπει να ικανοποιούνται, οι δύο είναι αυτόματες και μένει μόνο η "μεγάλη", δηλαδή b < a + c.

Κρατάμε τα a, b σταθερά και μετακινούμε (προσωρινά) μόνο το c. Tο διάστημά του είναι (b-a, 1].

Από τον τύπο του Ήρωνα είναι . Παραγωγίζουμε ως προς c (μην ξεχνάμε ότι μέσα στο s υπάρχει c και είναι π.χ. και λοιπά).

Θα βρούμε ,

δηλαδή η συνάρτησή μας είναι αύξουσα. Οπότε η μέγιστη τιμή της (για κάθε σταθερό a, b ως άνω) είναι για c=1.

Θέτουμε c = 1 στο εμβαδόν μας, που τώρα είναι μία παράσταση των b και c. Σε αυτήν την παράσταση, κρατάμε το b σταθερό (ως άνω). Τα όρια του a είναι, από την τριγωνική b - 1 < a < b+1. H δεξιά ανισότητα είναι αυτόματη αφού a < 2 < b, οπότε μένουμε ότι το δεξί άκρο του a είναι 2 (όπως το δίνει η άσκηση). Αριστερά, λόγω της 1 < b - 1, συμπεραίνουμε ότι τα όρια του a είναι . Παραγωγίζοντας (οι πράξεις είναι ακριβώς όπως πριν) θα βρούμε μέγιστο όταν a = 2.

Μένει η τιμή του b. Για τα c = 1, a = 2 που βρήκαμε έχουμε s = (1+2+b)/2 = (3+b)/2, s-a = (b-1)/2 (*), s-b = (3-b)/2, s-c= (1+b)/2. Τώρα το εμβαδόν ικανοποιεί

, ενώ τα όρια του b είναι [2, 3]. Παραγωγίζοντας θα βρούμε παράγωγο ίση με και από εκεί ότι η παράσταση μας έχει μέγιστο όταν (δεκτή), όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


(*) εδώ ήταν το λογιστικό σφάλμα

[vasilis_pap]

Θα θέλαμε πολύ Κύριε Μιχάλη να μας δείξετε και τη γεωμετρική σας λύση, όποτε βρείτε χρόνο.

[Mihalis_Lambrou]

Θα θέλαμε πολύ Κύριε Μιχάλη (*) να μας δείξετε και τη γεωμετρική σας λύση, όποτε βρείτε χρόνο.

Αποσύρω προσωρινά την απόδειξη γιατί έχει ένα σφάλμα. Σύντομα θα βάλω την σωστή εκδοχή.