mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=11762

Σελίδα 1 από 1

Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 1:56 pm
από irakleios
Σκέφτομαι ότι θα είναι πολύ καλό να γίνουν κάτι σαν ασκήσεις προετοιμασίας για τον Ευκλείδη είτε αυτά είναι παλιά θέματα είτε άλλων εδώ θα τα προτείνουμε και θα τα λύνουμε , θα είναι καλό και για πολλά παιδιά που δεν έχουν την δυνατότητα να αγοράσουν βιβλία ή να πηγαίνουν στα μαθήματα προετοιμασίας(προσωπικά είχα συναντήσει ταλαντούχα παιδιά που δεν προλαβαίνανε να προετοιμαστούνε διότι εργάζονταν και ούτε είχαν την οικ.δυνατότητα. Νομίζω όλοι θα είναι σύμφωνοι και όλοι θα συνεργαστούνε με θέματα επιπέδου ευκλείδη Α λυκείου , αντίστοιχα μπορούμε να δημιουργήσουμε για κάθε τάξη.
Ξεκινάω λοιπόν εγώ

1) Έστω οι αριθμοί a , b με a^2 - 4a + b^2 + 10b + 20 = 0 δείξτε ότι α > b .

2) Να δειχθεί ότι η εξίσωση x^2 - 4x - 19^{96}-96^{19} - 2000 = 0 δέν έχει ακέραια λύση .

(Ευκλείδης 96-97)

3) Έστω n θετικός ακέραιος , να δειχτεί ότι οι αριθμοί (n + 1)^2 και n(n-1) έχουν διαφορετικό άθροισμα ψηφίων

4) Έστω x , y > 0 και x^3 + y^2< 64 να αποδείξετε ότι x^4 + y^3 < 512

5) Έχούμε κέρματα και χαρτονομίσματα των 1, 10 και 100 ευρώ . Είναι δυνατόν με 1000 ακριβώς χαρτονομίσματα να σχηματίσουμε το ποσόν των 50.000 ευρώ ;

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 8:29 pm
από Γιάννης Σταυριανάκης
Για την 1η:
a^2 - 4a + b^2 + 10b + 20 = 0 \Leftrightarrow \left( a-2\right)^{2}+\left(b+5\right)^{2}=9 Στο πρώτο μέλος έχουμε άθροισμα 2 μη αρνητικών αριθμών άρα πρέπει το τετράγωνο τού καθένα να μήν ξεπερνά το 9. Για να ισχύει αυτό πρέπει -1\leq a\leq 5 και -8\leq b\leq -2 οπότε a>b
Μήπως γνωρίζει κανείς πότε βγαίνουν τα αποτελέσματα του Θαλή;

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 8:37 pm
από stavros11
Για την 5η:
Έστω x αυτά το πλήθος των χαρτονομισμάτων με αξία 100, y αυτών με 10 και z αυτών με 1.
Ισχύει x,y,z\in \mathbb{N}, x+y+z=1000 και 100x+10y+z=50000.

100x+10y+z=50000\Rightarrow 99x+9y+x+y+z=50000\Rightarrow 99x+9y+1000=50000\Rightarrow 9(11x+y)=49000\Rightarrow 11x+y=\frac{49000}{9}

Όμως το \frac{49000}{9} δεν είναι φυσικός, ενώ το 11x+y είναι. Άρα δεν είναι δυνατόν.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 9:00 pm
από Stavroulitsa
Θα απαντήσω και το 3ο ερώτημα, αλλά αυριο θα με κρεμάσει η κυρία Χειμαριού!!! χαχαχαχα
έστω ότι οι αριθμοί (n+1)^2, n(n-1) έχουν ίδιο άθροισμα ψηφίων, αυτό σημαίνει πως και η διαφορά τους θα είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 9, άρα έχουμε
(n+1)^2-n(n-1)=n^2+2n+1-n^2+n=3n+1\neq \pi o\lambda \lambda 3
άρα οι αριθμοί αυτοί έχουν διαφορετικά υπόλοιπα...

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 9:33 pm
από BILL_FC
Αν και Β Λυκείου θα μου επιτρέψετε να βάλω μια λύση για το 4ο...
Είναι x^{3}+ y^{2} \leq 64 \Rightarrow x^{3}\leq (8-y)(8+y) \Rightarrow x^{4} \leq x(8-y)(8+y) καθώς το χ είναι μαγαλύτερο από 0...

Άρα αρκεί να δειχθεί ότι: x (8-y) (8+y) + y^{3} \prec 512 \Rightarrow -x(y-8)(y+8) + y^{3}-512\prec 0 \Rightarrow (y-8)(y^{2}+8y+64-8x-xy)\prec 0

Όμως, από τη δοθείσα σχέση και επειδή x,y >0 , έχουμε ότι y<8 και x<4.

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι y^{2}+8y+64-8x-xy \succ 0
Είναι -x\succ -4\Rightarrow y^{2}+8y+64-8x-xy \succ y^{2}+8y+64-32-4y = y^{2}+4y +32 \succ 0 γιατί Δ=16-128=-112 <0

Συγχωρέστε με αν μου ξεφεύγει κάτι ή για τυχόν λάθη στο Latex μιας και το πρωτοχρησιμοποιώ :)

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 9:53 pm
από irakleios
πολύ ωραίες οι λύσεις σας .

Θα ήθελα όλοι να δίνουν λύση άρα και παιδιά άλλων τάξεων και όποιος άλλος θέλει.

δίνω μια υπόδειξη για το 2 .

προσθαφαιρούμε το 4 , και δημιουργούμε τε τέλειο τετράγωνο (x - 2)^2 στο 1ο μέλος και στο δεύτερο θα βρούμε το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 10:22 pm
από Καρδαμίτσης Σπύρος
Τα αποτελέσματα του Θαλή θα έβγαιναν την Παρασκευή, μέχρι τώρα όμως δεν έχουν βγει, άρα αναμένονται από μέρα σε μέρα.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 11:01 pm
από irakleios
6) Στο εσωτερικό της ορθής γωνίας xΟy θεωρούμε σημείο Γ και στις πελυρές της Οx και Οy τα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη απο το διπλάσιο της ΟΓ.

7) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση \frac{3a+1}{(a+x)} - \frac{a-1}{(a-x)} = \frac{2a(a^2-1)}{(x^2-a^2)} (τα κλάσματα ορίζονται και α πραγματικός) . Για ποιές θετικές ακέραιες τιμές του a οι ρίζες της είναι πρώτοι αριθμοί;

8) Έστω b,c τα μήκη των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα a . Να δειχθεί ότι b^4 + b^2c^2 + c^4 > \frac{3}{4}a^4

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 11:35 pm
από stavros11
Εσφαλμένη Λύση.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 11:50 pm
από chris
Ας βάλω μία έτσι για δείγμα :P
irakleios έγραψε: 8) Έστω b,c τα μήκη των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα a . Να δειχθεί ότι b^4 + b^2c^2 + c^4 > \frac{3}{4}a^4



\displaystyle b^4+b^2c^2+c^4\geq \frac{3}{4}a^4\Leftarrow 2b^4+2b^2c^2+2c^4\geq \frac{3}{2}a^4\Leftarrow (b^2+c^2)^2+b^4+c^4\geq \frac{3}{2}a^4\Leftarrow b^4+c^4\geq \frac{a^4}{2}\Leftarrow (b^2+c^2)^2-2b^2c^2\geq \frac{a^4}{2}\Leftarrow a^4\geq 4b^2c^2\Leftarrow a^2\geq 2bc\Leftarrow (b-c)^2\geq 0

που ισχύει με την ισότητα όταν είναι και ισοσκελές.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 21, 2010 12:57 am
από BILL_FC
Μία λύση για την 7..:
Από τη στιγμή που τα κλάσματα ορίζονται είναι:

\frac{3a+1}{a+x} - \frac{a-1}{a-x} = \frac{2a(a^{2}-1)}{x^{2}-a^{2}} \Rightarrow \frac{3a+1}{a+x} - \frac{a-1}{a-x} = -\frac{2a(a^{2}-1)}{(a+x) (a-x)} \Rightarrow
(3a+1)(a-x) - (a-1)(a+x)= -2a(a^{2}-1) \Rightarrow
3a^{2} +a-3ax-x-a^{2}+a+x-ax= - 2a^{3}+2a \Rightarrow
2a^{2}-4ax +2a = - 2a^{3}+2a \Rightarrow -4ax = -2a^{3} - 2a^{2} \Rightarrow x=\frac{a^{2}+a}{2}=\frac{a(a+1)}{2}

Τώρα αν a \succ 2 θα έχουμε:
ι) α-> άρτιος, δηλαδή a=2k όπου k φυσικός(k>1). Όμως, τότε:
x =\frac{2k(2k+1)}{2} = k(2k+1) και ο x θα ήταν σύνθετος.

ή ιι) α-> περιττός, δηλαδή a=2k+1 όπου k φυσικός. Όμως, τότε:
x =\frac{(2k+1)(2k+2)}{2} = (k+1)(2k+1) και ο x θα ήταν σύνθετος.

Άρα μένει να ελέγξουμε για α=1 και α=2. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι μόνο το α=2 , δίνει πρώτο αριθμό (x=3).

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 21, 2010 4:58 pm
από BILL_FC
x^4+y^3<256+512=768\Rightarrow x^4+y^3<512
Χμ... Το γεγονός ότι x^4+y^3<256+512=768 δε συνεπάγεται με x^4+y^3<512. Ή όχι ; Πάντως, μπορεί π.χ. να είναι x^4+y^3=600 και τότε θα επαληθεύοταν η πρώτη σχέση άλλα όχι και η δεύτερη...
Συγχωρέστε με αν κάπου κάνω λάθος.

Φιλικά,
Βασίλης

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 21, 2010 5:35 pm
από stavros11
BILL_FC έγραψε:
x^4+y^3<256+512=768\Rightarrow x^4+y^3<512
Χμ... Το γεγονός ότι x^4+y^3<256+512=768 δε συνεπάγεται με x^4+y^3<512. Ή όχι ; Πάντως, μπορεί π.χ. να είναι x^4+y^3=600 και τότε θα επαληθεύοταν η πρώτη σχέση άλλα όχι και η δεύτερη...
Συγχωρέστε με αν κάπου κάνω λάθος.

Φιλικά,
Βασίλης
Συγγνώμη εγώ έκανα λάθος. Αφαιρώ την λύση. Ευχαριστώ για την υπόδειξη.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 22, 2010 12:37 am
από irakleios
Mία άλλη σκέψη για το 4 :

αρκεί να δείξω ότι x^4 + y^3 < 8(x^3 + y^2) ισοδύναμα x^3(x - 8) + y^2(y - 8) < 0 η οποία ισχύει αφού 0< x < 4 και 0 < y < 8.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 23, 2010 2:21 pm
από irakleios
9) Aν a , b , c τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου να δειχθεί ότι :

2 < \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b}-\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}< 3

10) Για κάθε ακέραιο n > 2 να δείξετε ότι ο αριθμός \frac{n^3+(n+2)^3}{4} είναι ένας σύνθετος ακέραιος.

11) Αν a^2 + a^{-2} = 4 να υπολογιστεί το a^6 + a^{-6}

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 23, 2010 3:40 pm
από kanenas
Πραγματικά πολύ ωραία τα θέματα. Μήπως θα μπορούσατε να βάλετε θέματα για προετοιμασία για την Γ' Γυμνασίου;

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 23, 2010 4:10 pm
από irakleios
δές εδώ viewtopic.php?f=58&t=11871
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+02:00
Σελίδα 1 από 1

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com