Ακολουθίες

strat92man · #1

Δίνεται μια ακολουθία με $a_{0} = 3$ ,,,, $a_{n+1}=a_{n} + \frac{1}{a_{0}}$
για κάθε $n \in \mathbb{N}$ να αποδειχθει ότι $a_{n} > \sqrt{2n+9}$

δεν ξέρω τι κάνω λάθος ξέρω (ετσι πιστεύω) ότι για να ισχυει αρχικα πρεπει να δείξω οτι προκειται για αυξουσα (με αρχικη ενδεικη που φενεται οτι προκειται για αυξουσα) και ανω φραγμένη και μετα αφου συγκλινει το ν+1 θα συγκινει και το ν ετσι καταληγω σε ένα όριo μεγαλυτερο του ριζα 11 αλλα ?!??!?! δεν βγαίνει any HelP..?

#2

strat92man έγραψε:Δίνεται μια ακολουθία με a_{0} = 3 ,,,, $a_{n+1}=a_{n} + \frac{1}{a_{0}}$
για κάθε neN να αποδειχθει ότι $a_{n} > \sqrt{2n+9}$

δεν ξέρω τι κάνω λάθος ξέρω(ετσι πιστεύω) τοι για να ισχυει αρχικα πρεπει να δείξω οτι προκειται για αυξουσα(με αρχικη ενδεικη που φενεται οτι προκειται για αυξουσα) και ανω φραγμένη και μετα αφου συγκλινει το ν+1 θα συγκινει και το ν ετσι καταληγω σε ένα όριo μεγαλυτερο του ριζα 11 αλλα ?!??!?! δεν βγαίνει any HelP..?

Δεν κοίταξα καθόλου τις λεπτομέρειες. Γράφω μόνο για να επισημάνω ότι "κάτι δεν πάει καλά" με αυτά που γράφεις, οπότε ξαναδές τα. Συγκεκριμένα, δεν μπορεί η ακολουθία να είναι άνω φραγμένη και συγχρόνως να ισχύει $a_{n} > \sqrt{2n+9}$ .

Καλές γιορτές.

Φιλικά,

Μιχάλης

Eukleidis · #3

$\displaystyle{{a_0} = 3}$
$\displaystyle{{a_1} = {a_0} + \frac{1}{{{a_0}}}}$
$\displaystyle{{a_2} = {a_1} + \frac{1}{{{a_0}}}}$
|
|
|
$\displaystyle{{a_n} = {a_{n - 1}} + \frac{1}{{{a_0}}}}$

Mε πρόσθεση κατα μέλη παίρνουμε ότι $\displaystyle{{a_n} = 3 + \frac{n}{{{a_0}}}}$

Μετα είναι απλό αρκεί να δούμε ότι η ανισότητα ισχύει για το Ν*

strat92man · #4

να ρωτήσω κάτι ακομη..,στις ακολουθίες οποτε μας ζητάνε να βρούμε μονοτονία το μυαλό μας πάει να αφαιρεσουμε το $a_{n+1}$ απο $a_{n}$ ...? και αναλογα μα το αν ειναι θετικο αρνητικο βγάζουμε συμπερασμα γιατι μου δίνεται κάπου το κλασμα και Ολο υψωμένο σε δυναμη=n+1 και αν κάνω αυτο τον τρόπο που ειπα στο $a_{n+1}$ η δυναμη θα ειναι ν+2...

#5

strat92man έγραψε:Δίνεται μια ακολουθία με $a_{0} = 3$ ,,,, $a_{n+1}=a_{n} + \frac{1}{a_{0}}$
για κάθε $n \in \mathbb{N}$ να αποδειχθει ότι $a_{n} > \sqrt{2n+9}$

δεν ξέρω τι κάνω λάθος ξέρω (ετσι πιστεύω) ότι για να ισχυει αρχικα πρεπει να δείξω οτι προκειται για αυξουσα (με αρχικη ενδεικη που φενεται οτι προκειται για αυξουσα) και ανω φραγμένη και μετα αφου συγκλινει το ν+1 θα συγκινει και το ν ετσι καταληγω σε ένα όριo μεγαλυτερο του ριζα 11 αλλα ?!??!?! δεν βγαίνει any HelP..?

Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με διαφορά $\frac{1}{a_0}$ κ.λπ.

strat92man · #6

rek2 έγραψε:
strat92man έγραψε:Δίνεται μια ακολουθία με $a_{0} = 3$ ,,,, $a_{n+1}=a_{n} + \frac{1}{a_{0}}$
για κάθε $n \in \mathbb{N}$ να αποδειχθει ότι $a_{n} > \sqrt{2n+9}$

δεν ξέρω τι κάνω λάθος ξέρω (ετσι πιστεύω) ότι για να ισχυει αρχικα πρεπει να δείξω οτι προκειται για αυξουσα (με αρχικη ενδεικη που φενεται οτι προκειται για αυξουσα) και ανω φραγμένη και μετα αφου συγκλινει το ν+1 θα συγκινει και το ν ετσι καταληγω σε ένα όριo μεγαλυτερο του ριζα 11 αλλα ?!??!?! δεν βγαίνει any HelP..?

Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με διαφορά $\frac{1}{a_0}$ κ.λπ.

επομένως πως βγαίνει ;;

#7

strat92man έγραψε:...

επομένως πως βγαίνει ;;

Αφού η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με $\displaystyle{a_{0}=3}$ και διαφορά $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ ,

έχουμε $\displaystyle{a_{n}=3+\frac{n}{3}=\frac{n+9}{3},}$

επομένως

$\displaystyle{a^{2}_{n}=\frac{(n+9)^2}{9}=\frac{n^2+18n+81}{9}\geq \frac{18n+81}{9}=2n+9,}$

άρα $\displaystyle{a_{n}\geq \sqrt{2n+9}.}$

#8

strat92man έγραψε:να ρωτήσω κάτι ακομη..,στις ακολουθίες οποτε μας ζητάνε να βρούμε μονοτονία το μυαλό μας πάει να αφαιρεσουμε το $a_{n+1}$ απο $a_{n}$ ...?

Όχι κατ' ανάγκη. Η αφαίρεση $a_{n+1}-a_n$ είναι χρήσιμο εργαλείο αλλά συνήθως λειτουργεί μόνο σε πολύ απλές περιπτώσεις. Άλλη μέθοδος (για θετικούς όρους) είναι με το πηλίκο $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ και εξέταση πότε είναι > 1 ή < 1. Και αυτή η μέθοδος δεν μας πάει μακρυά σε πιo δύσκολες περιπτώσεις.

Συχνά ένα εξαιρετικό εργαλείο είναι οι παράγωγοι. Π.χ. για να δείξεις ότι η $\left( 1 +\frac{1}{n} \right)^n$ είναι γνήσια αύξουσα, ένας τρόπος είναι να εξετάσεις την συνάρτηση $\left( 1 +\frac{1}{x} \right)^x$ (με $x \ge 1$ ).

Η παράγωγός της είναι $\left( 1 +\frac{1}{x} \right)^x\left( \ln \left ( 1 +\frac{1}{x} \right) - \frac{1}{1+x}\right)$ που είναι θετική (χρήση εδώ της $\ln \left ( 1 +y \right) > \frac{y}{1+y}\right),\,\, (y\ge 1)$ ).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

strat92man · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
strat92man έγραψε:να ρωτήσω κάτι ακομη..,στις ακολουθίες οποτε μας ζητάνε να βρούμε μονοτονία το μυαλό μας πάει να αφαιρεσουμε το $a_{n+1}$ απο $a_{n}$ ...?
Όχι κατ' ανάγκη. Η αφαίρεση $a_{n+1}-a_n$ είναι χρήσιμο εργαλείο αλλά συνήθως λειτουργεί μόνο σε πολύ απλές περιπτώσεις. Άλλη μέθοδος (για θετικούς όρους) είναι με το πηλίκο $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ και εξέταση πότε είναι > 1 ή < 1. Και αυτή η μέθοδος δεν μας πάει μακρυά σε πιo δύσκολες περιπτώσεις.

Συχνά ένα εξαιρετικό εργαλείο είναι οι παράγωγοι. Π.χ. για να δείξεις ότι η $\left( 1 +\frac{1}{n} \right)^n$ είναι γνήσια αύξουσα, ένας τρόπος είναι να εξετάσεις την συνάρτηση $\left( 1 +\frac{1}{x} \right)^x$ (με $x \ge 1$ ).

Η παράγωγός της είναι $\left( 1 +\frac{1}{x} \right)^x\left( \ln \left ( 1 +\frac{1}{x} \right) - \frac{1}{1+x}\right)$ που είναι θετική (χρήση εδώ της $\ln \left ( 1 +y \right) > \frac{y}{1+y}\right),\,\, (y\ge 1)$ ).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

έχω το εξής : $(\frac{n+1}{n})^{n+1}$ θα πάρω αριθμιτ ν+1 και στον παρανομαστή το ν ??
εχω μαθει να το εφαρμόζω μόνο οταν πρόκειται για ριζικο..και στις σειρές οταν έχουμε κριτήριο alembert & Raabe...

μπορείται να μου πείτε ποτε σκέφτομαι αυτην την τεχνικη και τι αποτελεσμα βγάζετε σε αυτο που σας έδωσα; καταληγω καπου παράξενα...

#10

Το ίδιο συμπέρασμα έχουμε και για την ακολουθία $\displaystyle a_0=3, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$

Ακολουθίες

Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Re: Ακολουθίες

Μέλη σε σύνδεση