Απλή εξίσωση για να μην ξεχνάμε τα παλιά !

#1

Μια απλή άσκηση για φρασκάρισμα των μιγαδικών, μια και σε αυτή τη φάση όλοι έχουμε πέσει στην παράγωγο.

ΑΣΚΗΣΗ

Α. Να λυθεί η εξίσωση z^2+z+1=0

και να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της έχουν μετρο

.

B. Αν

είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης , να αποδειχθεί ότι $a^{2010} = 1$ .

Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί

, για τους οποίους ισχύει ότι :

$z^{2012} +z+1 = 0$ και |z|=1

Μπάμπης

margavare · #2

A.

$\begin{array}{l} z^2 + z + 1 = 0 \\ \Delta = 3i^2 \\ z_{1,2} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2} \\ \end{array}$

$\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| = \left| { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| = \sqrt {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 } = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$

B.
$\alpha ^2 + \alpha + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha ^3 + \alpha ^2 + \alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha ^3 - 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha ^3 = 1$
$\alpha ^{2010} = \left( {\alpha ^3 } \right)^{670} = 1^{670} = 1$

Γ.
$\begin{array}{l} z^{2012} + z + 1 = 0 \\ z^{2012} = - z - 1 \\ \left| z \right|^{2012} = \left| {z + 1} \right| \\ 1 = \left| {z + 1} \right| \\ \end{array}$

$\left| {z + 1} \right| = \left| z \right| = 1$
Αν θέσουμε $z = x + y \cdot i$

$\begin{array}{l} \left| {z + 1} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow \\ \left| {z + 1} \right|^2 = \left| z \right|^2 \Leftrightarrow \\ \left( {z + 1} \right) \cdot \left( {\overline z + 1} \right) = z\overline { \cdot z} \Leftrightarrow \\ z\overline { \cdot z} + z + \overline z + 1 = z\overline { \cdot z} \Leftrightarrow \\ z + \overline z = - 1 \\ 2x = - 1 \\ x = - \frac{1}{2} \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \\ x^2 + y^2 = 1 \Leftrightarrow \\ \left( { - \frac{1}{2}} \right)^2 + y^2 = 1 \Leftrightarrow \\ y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ \end{array}$

Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι $- \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot i$
και $- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot i$

Ευχαριστώ τον Θανάση (mathfinder) για την διόρθωση.

Απλή εξίσωση για να μην ξεχνάμε τα παλιά !

Απλή εξίσωση για να μην ξεχνάμε τα παλιά !

Re: Απλή εξίσωση για να μην ξεχνάμε τα παλιά !

Μέλη σε σύνδεση