Γεωμετρικός τόπος 4ης κορυφής ορθογωνίου, Νο2

Ανδρέας Πούλος · #1

Ως συνέχεια του θέματος viewtopic.php?f=20&t=11890
προτείνω το εξής θέμα:

Δίνεται κύκλος (Κ, ρ) και σημείο Α στο εσωτερικό του.
Αν τα σημεία σημεία Β, Γ ανήκουν στον (Κ, ρ) και το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Δ.

Μετά τη δημοσίευση λύσεων στο θέμα αυτό,
θα κάνω μία σειρά παρατηρήσεων, διάκρισης περιπτώσεων και σχετικών σχολίων.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

S.E.Louridas · #2

Όμορφες διδακτικές παρεμβάσεις Ανδρέα, 'κτισίματος' γιά την κατανόηση εννοιών και κινήσεων. Eύχομαι να μονιμοποιηθούν τέτοιες παρεμβάσεις αφού στοχεύουν ΕΥΡΥΤΕΡΑ και αυτό είναι αντιληπτό.
Από ότι διαισθάνομαι Ανδρέα μάλλον θα ζητήσεις και την περίπτωση που το Α θα βρίσκεται επί της περιφέρειας.
Απλά θα ήθελα να ρωτήσω άν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ότι ενα σημείο μπορεί να θεωρηθεί σαν 'εκφυλισμένο' ορθογώνιο, δηλαδή σαν ορθογώνιο με ταυτισμένες τις κορυφές του ή ότι ένα ευθύγραμμο τμήμα επίσης άν μπορεί να θεωρηθεί σαν 'εκφυλισμένο' ορθογώνιο πάντα υπό την ευρεία έννοια των όρων αυτών.

S.E.Louridas

Ανδρέας Πούλος · #3

Σωτήρη,
προδίδεις μυστικά και "πονηρεύεις" τους νέους.
Καλά κάνεις και ανοίγεις αυτή τη συζήτηση. Και εγώ αυτό ακριβώς θέλω να τονίσω.
Ότι στις γεωμετρικές κατασκευές και στους γεωμετρικούς τόπους η διερεύνηση
και οι "ειδικές περιπτώσεις" παίζουν έναν διδακτικό ρόλο, τον αντίστροφο της γενίκευσης,
ένα ρόλο με κάποια διδακτική αξία, αφού ανοίγουν θέματα για διερεύνηση,
για όσους φυσικά από τους μαθητές θέλουν και μπορούν να συζητήσουν και να ψάξουν.
Αν και πολλά πράγματα μέσα στην τάξη είναι θέμα κατάλληλης προβολής και μάρκετιγκ,
ώστε να οδηγηθούν σε συμμετοχή όσο γίνεται ευρύτερος αριθμός μαθητών
και αυτή είναι η τέχνη και η "μαγκιά" του δασκάλου.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#4

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1η Περίπτωση: Τα σημεία των κορυφών του ορθογωνίου να είναι όπως στο σχήμα 1.
Τότε προφανώς θα είναι:
$K\Delta =KA=d=ct$
γιατί η μεσοκάθετη στην ΒΓ θα είναι και μεσοκάθετη της ΑΔ και θα διέλθει από το κέντρο Κ του κύκλου.
Άρα το Δ θα κινείται σε κύκλο C(K,d)

.

2η Περίπτωση: Τα σημεία των κορυφών του ορθογωνίου να είναι όχι με την προηγούμενη σειρά αλλά
όπως στο σχήμα 2. Τότε:
$K\Delta ^2=KM^2+M\Delta ^2=KM^2+\Gamma N.NE=KM^2+\rho ^2-KN^2 (1)$
όμως:
$d^2=KA^2=KN^2+AN^2\Rightarrow KN^2=d^2-AN^2(2)$
Από τις (1) και (2) έχουμε:
$K\Delta ^2=KM^2+\rho ^2-(d^2-AN^2)$
ή ακόμα:
$K\Delta ^2=\rho ^2-d^2+(KM^2+AN^2)=\rho ^2-d^2+(KM^2+BM^2)=2\rho ^2-d^2=ct$
Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το Κ ακτίνα: $\sqrt{2\rho ^2-d^2}$

Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε να ζητήσουμε και το γ.τ. του κέντρου Σ του ορθογωνίου, που είναι ο πράσινος
κύκλος διότι το τμήμα που ενώνει τα μέσα των ΚΑ και ΑΔ είναι το μισό της ΚΔ, άρα σταθερό.

Ανδρέας Πούλος · #5

Κώστα,
κι εγώ πήρα τα σημεία Β και Γ με διαφορετικές διατάξεις
ΑΒΓΔ και ΑΒΔΓ για να δω τι συμβαίνει.
Αφού βεβαιώθηκα για τους γεωμετρικούς τόπους μέσω του Geogebra,
βασικό εργαλείο όπως και το Cabri και το Sketchpad για την παραγωγή νέων προβλημάτων,
(είναι κοινό - γνωστό μυστικό και γιατί να το κρύψωμεν άλλωστε),
μετά έκανα την απόδειξη της ορθότητας αυτού που "φαίνεται" από το πρόγραμμα.
Περιμένω και κάποια άλλη προσέγγιση για να γράψω μερικά σχόλια για το θέμα αυτό.
Με χαρά βλέπω ότι το έχεις ρίξει στο ξενύχτι, έτσι είμαστε εμείς οι γλεντζέδες.
Καλή διασκέδαση.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Γεωμετρικός τόπος 4ης κορυφής ορθογωνίου, Νο2

Γεωμετρικός τόπος 4ης κορυφής ορθογωνίου, Νο2

Re: Γεωμετρικός τόπος 4ης κορυφής ορθογωνίου, Νο2

Re: Γεωμετρικός τόπος 4ης κορυφής ορθογωνίου, Νο2

Re: Γεωμετρικός τόπος 4ης κορυφής ορθογωνίου, Νο2

Re: Γεωμετρικός τόπος 4ης κορυφής ορθογωνίου, Νο2

Μέλη σε σύνδεση