Ανισότητα (Hadamard)

#1

Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ κυρτή. Να δειχθεί ότι $\displaystyle f(\frac{a+b}{2})\leq\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}$ .

giannisn1990 · #2

Απο ανισότητα Jensen $\displaystyle f(x)+f(a+b-x)\geq 2f(\frac{a+b-x+x}{2})=2f(\frac{a+b}{2})$ με ολοκλήρωση στο $\displaystyle [a,b]$ και εφόσον $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx$ παίρνουμε $\displaystyle 2\int_{a}^{b}f(x)dx\geq 2(b-a)f(\frac{a+b}{2}) \Leftrightarrow$ $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\geq (b-a)f(\frac{a+b}{2})$

mathxl · #3

Για την άλλη ανισότητα, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η παράσταση στο κέντρο ισούται με f(ξ) (από ΘΜΤΟΛ), άρα με 2 ΘΜΤ στα [α,ξ] και [ξ,β] και το γεγονός ότι η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα (f κυρτή) και ολοκλήρωση, τελειώσαμε.
Η πρόταση αυτή έχει ωραία γεωμετρική ερμηνεία

EDIT: Συμπλήρωσα την λέξη ολοκλήρωση που δεν είχα γράψει επίσης δίνω και ένα σύνδεσμο http://www.emis.de/journals/JIPAM/image ... 167_03.pdf όπου μπορούμε να δούμε μία επέκταση GINI AND STOLARSKY

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ κυρτή. Να δειχθεί ότι $\displaystyle f(\frac{a+b}{2})\leq\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}$ .

Δίνω μια διατύπωση και μια λύση προσαρμοσμένη στα σχολικά δεδομένα, με την ισχυρότερη υπόθεση της παραγωγισιμότητας για την κυρτότητα κατάλληλη για ένα (απαιτητικό κατα τη γνώμη μου) θέμα.
Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κυρτή.
1)Να δειχθεί ότι για κάθε $z\in(a,b)$ ισχύει $f(z)<\frac{b-z}{b-a}f(a)+\frac{z-a}{b-a}f(b)$ ,
2)Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο $(\frac{a+b}{2},f(\frac{a+b}{2}))$ ,
3)Να δειχθεί ότι $\displaystyle f(\frac{a+b}{2})\leq\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx<\frac{f(a)+f(b)}{2}$ .

1)Έστω $z\in(a,b)$ . Από το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. υπάρχουν $y_{1},y_{2}$ στα αντίστοιχα διαστήματα $[a,z]\,\,\,\,[z,b]$ με $f^{\prime}(y_{1})=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}$ και $f^{\prime}(y_{2})=\frac{f(b)-f(z)}{b-z}$ . Αφού η $f^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε $f^{\prime}(y_{1})<f^{\prime}(y_{2})$ άρα, κάνοντας πράξεις, $f(z)<\frac{b-z}{b-a}f(a)+\frac{z-a}{b-a}f(b)$ .

2)Θέτοντας $z=\frac{a+b}{2}$ , είναι $f(t)-f(z)=f^{\prime}(z)(t-z)$ .

3)Θέτουμε $z=\frac{a+b}{2}$ . Λόγω κυρτότητας, για κάθε $t\in[a,b]$ είναι $f(t)\geq f(z)+f^{\prime}(z)(t-z)$ , άρα
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,dt\geq\int_{a}^{b}f(z)\,dt+\int_{a}^{b}f^{\prime}(z)(t-z)\,dt=\ldots=\\ =(b-a)f(z)+f^{\prime}(z)(b-a)(\frac{b+a}{2}-z)=(b-a)f(z)$ ,
άρα $f(\frac{a+b}{2})\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt$ .
Για την άλλη ανισότητα, από την $f(z)<\frac{b-z}{b-a}f(a)+\frac{z-a}{b-a}f(b)$ έχουμε $\displaystyle\int_{a}^{b}f(z)\,dz<\frac{f(b)}{b-a}\int_{a}^{b}z-a\,dz+\frac{f(a)}{b-a}\int_{a}^{b}b-z\,dz=\ldots=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$ , άρα $f(z)<\frac{b-z}{b-a}f(a)+\frac{z-a}{b-a}f(b)$ .

Ανισότητα (Hadamard)

Ανισότητα (Hadamard)

Re: Ανισότητα (Hadamard)

Re: Ανισότητα (Hadamard)

Re: Ανισότητα (Hadamard)

Μέλη σε σύνδεση