Tα (τριγωνομετρικά) απαγορευμένα (Νο4)

#1

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εντός αυτού ισόπλευρο τρίγωνο ΔΕΓ. Αποδείξτε ότι η ΕΓ τέμνει τη ΒΔ. Αν Ζ το σημείο τομής των ΒΔ, ΕΓ, υπολογίστε το εμβαδό του τριγώνου ΒΖΓ σε σχέση με την πλευρά α του τετραγώνου.

(Προφανώς αυτό το γεωμετρικό θέμα λύνεται ... και γεωμετρικά

).

Προκαλώ τους μαθητές μας να δοκιμάσουν τη δύναμη των εργαλείων της Τριγωνομετρίας.

Γιώργος Ρίζος

Ως 15-1-2010, μετά βουρ και οι γεροντότεροι...

ΧΡΗΣΤΟ, έφτιαξα και εξώφυλλο για τη συλλογή:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Stavroulitsa · #2

Χρόνια Πολλά και πάλι!!! Καλή Χρονιά σε όλους!
Η ΕΓ τέμνει την ΒΔ διότι $E\hat{\Gamma }\Delta >O\hat{\Gamma }\Delta \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 60>\varepsilon \varphi 45$ άρα η απόσταση του Ε από τη ΓΔ είναι μεγαλύτερη απ την απόσταση του Ο απ την ιδια πλευρά, γιατί το Ε και το Ο βρίσκονται στη μεσοκάθετο. άρα η ΒΔ που περνάει από το Ο θα τέμνει αναγκαστικά και την ΕΓ.
επειδή το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο $A\Gamma \perp B\Delta$ και $O\Gamma =\frac{a\sqrt{2}}{2}$ , γνωρίζουμε όμως ότι $O\hat{\Gamma }Z=Z\hat{\Gamma} \Delta -O\hat{\Gamma }\Delta =60-45=15$
επομένως
$\varepsilon \varphi Z\hat{\Gamma }O=\frac{OZ}{O\Gamma }\Leftrightarrow \varepsilon \varphi (45-30)=\frac{OZ}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon \varphi 45-\varepsilon \varphi 30}{1+\varepsilon \varphi 45\cdot \varepsilon \varphi 30}=\frac{2OZ}{a\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2OZ}{a\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{2OZ}{a\sqrt{2}}\Leftrightarrow OZ=\frac{a\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{2}$
άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΟΖΓ είναι
$E_{O\Gamma Z}=\frac{1}{2}\cdot OZ\cdot O\Gamma =\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}(2-\sqrt{3}}{2}=\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4} \right)a^2$
άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΒΖΓ είναι $\frac{(AB\Gamma \Delta )}{4}-(O\Gamma Z)=\frac{a^2}{4}-\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4} \right)a^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{4}\right)a^2$

Κύριε Ρίζο σε λίγα χρόνια ο τίτλος θα μετατραπεί σε "ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"...

ΥΓ. Για κάποιο περίεργο λόγο δε μου εμφανίζει το LaTex την παράσταση
\frac{(AB\Gamma \Delta )}{4}-(O\Gamma Z)=\frac{a^2}{4}-\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4} \right)a^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{4}\right)a^2

#3

Παρά το ότι με ταλαιπωρεί μία ίωση, γέλασα με την ψυχή μου!

Γιώργο να είσαι καλά!

#4

Επαναφέρω το θέμα, μετά την άμεση, όμορφη και ... παράνομη λύση της Σταυρουλίτσας

, ζητώντας και άλλες λύσεις (έστω και Γεωμετρικές

).

: 15-1-2011 Γεωμετρία.jpg (12.33 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Είναι: $\displaystyle \widehat{{\rm B}\Delta \Gamma } = 45^\circ$

Αφού το ΔΕΓ είναι ισόπλευρο, είναι $\displaystyle \widehat{{\rm E}\Delta \Gamma } = 60^\circ > \widehat{{\rm B}\Delta \Gamma }$ , οπότε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΒ είναι εσωτερικό της γωνίας $\displaystyle \widehat{{\rm E}\Delta \Gamma }$ , άρα η ΔΒ τέμνει την ΕΓ.

Είναι $\displaystyle \widehat{\Delta {\rm B}\Gamma } = 45^\circ \Rightarrow \widehat{BZ\Gamma } = 105^\circ$

Από Νόμο Ημιτόνων στο ΒΓΖ : $\displaystyle \frac{\alpha }{{{\rm{\eta \mu 105}}^\circ }} = \frac{{{\rm{\Gamma {\rm Z}}}}}{{{\rm{\eta \mu 45}}^\circ }} = \frac{{{\rm{{\rm B}{\rm Z}}}}}{{{\rm{\eta \mu 30}}^\circ }}$ .

Άρα $\displaystyle \Gamma {\rm Z} = \frac{{\alpha \cdot {\rm{\eta \mu 45}}^\circ }}{{{\rm{\eta \mu 105}}^\circ }} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\alpha }}{{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{2\alpha }}{{\sqrt 3 + 1}}$

$\displaystyle {\rm B}{\rm Z} = \frac{{\alpha \cdot {\rm{\eta \mu 30}}^\circ }}{{{\rm{\eta \mu 105}}^\circ }} = \frac{{\frac{1}{2}\alpha }}{{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{\sqrt 2 \alpha }}{{\sqrt 3 + 1}}$ .

Άρα $\displaystyle \left( {{\rm B}{\rm Z}\Gamma } \right) = \frac{1}{2}{\rm{\Gamma {\rm Z}}} \cdot {\rm{{\rm B}{\rm Z}}} \cdot {\rm{\eta \mu 105}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} \cdot \frac{{2\alpha }}{{\sqrt 3 + 1}} \cdot \frac{{\sqrt 2 \alpha }}{{\sqrt 3 + 1}}\frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{4} = \frac{{\alpha ^2 }}{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}$ .

Γιώργος Ρίζος

Tα (τριγωνομετρικά) απαγορευμένα (Νο4)

Tα (τριγωνομετρικά) απαγορευμένα (Νο4)

Re: Tα (τριγωνομετρικά) απαγορευμένα (Νο4)

Re: Tα (τριγωνομετρικά) απαγορευμένα (Νο4)

Re: Tα (τριγωνομετρικά) απαγορευμένα (Νο4)

Μέλη σε σύνδεση