Αράχνη και η μύγα

kostas.zig · #1

Δεν θυμάμαι αν έχει ξανατεθεί αλλά είναι πολύ ωραία για τους μικρούς μας δυνατούς λύτες!

Μέσα σε ένα δωμάτιο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, μήκους 30 μέτρων, πλάτους και ύψους 12 μέτρων, βρίσκεται μια αράχνη, σε ένα σημείο επί της μεσοκαθέτου ενός πλευρικού τοίχου το οποίο απέχει 1 μέτρο από την οροφή. Ακριβώς απέναντι αλλά 1 μέτρο από το δάπεδο βρίσκεται μια μύγα ακίνητη.

Το ζητούμενο : Ποιά είναι η συντομότερη διαδρομή που μπορεί να διανύσει η αράχνη ώστε να φτάσει την μύγα, η οποία στέκεται ακίνητη. Πόσο είναι η συντομότερη αυτή διαδρομή;

Σωστά συμπλήρωσε παρακάτω ο Σωτήρης μετά από την παράλειψή μου: Η ζητούμενη διαδρομή είναι με την προυπόθεση να κινηθεί η αράχνη πάνω στους τοίχους.

Βλέπετε το σχήμα
Εικόνα

Ιστοσελίδα · #2

Μία ΜΗ ΛΥΣΗ υποθέτω :
Αν δεχθούμε ότι οι αράχνες "πετούν" με τη βοήθεια του ιστού τους, τότε η συντομότερη διαδρομή θα είναι κατα μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΧΙ, διότι η συντομότερη διαδρομή είναι η ευθεία...
Για τους μαθητές μας όμως θεωρούμε ότι πρέπει να βρουν διαδρομή πάνω στους τοίχους του δωματίου...

#3

kostas.zig έγραψε:Δεν θυμάμαι αν έχει ξανατεθεί αλλά είναι πολύ ωραία για τους μικρούς μας δυνατούς λύτες!

Θυμάμαι, το είχα δει στο Ημερολόγιο της Μαθηματικής Βιβλιοθήκης του 1998

(Προφανώς υπάρχει και αλλού)...

: 09-1-2011 Hmerologio.jpg (26.94 KiB) Προβλήθηκε 2421 φορές

για τους μικρούς μας δυνατούς λύτες...
Προηγούνται οι μαθητές μας!

Μια μικρή υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ας το γενικεύσουμε: Αράχνη, μύγα σε τυχαία σημεία των απέναντι τοίχων, ας πούμε με τις υπάρχουσες διαστάσεις του δωματίου. (Δεν το έχω επεξεργαστεί).

Γιώργος Ρίζος

kostas.zig · #4

Αναφέρω, Γιώργο, λίγα πράγματα που διάβασα για την ιστορία του προβλήματος και περιμένω για την λύση μετά την υπόδειξη που έδωσες και εσύ.

Ο Henry Ernest Dudeney (1857-1930) θεωρείται ο μεγαλύτερος δημιουργός μαθηματικών γρίφων στην Αγγλία. Δεν έλαβε ποτέ την τυπική μαθηματική γνώση, ωστόσο διέθετε το χάρισμα να επιλύει διάφορα προβλήματα, τα οποία ανθίσταντο πειραματικά στη συμβατική σκέψη.
Έγραψε έξι βιβλία διασκεδαστικών μαθηματικών, εκ των οποίων το πρώτο, με τίτλο The Canterbury Puzzles έχει το παραπάνω πρόβλημα.

Αυτά τα λίγα, που διάβασα τα Χριστούγεννα στο βιβλίο του Eli Maor, Το Πυθαγόρειο θεώρημα. Μια ιστορία 4.000 ετών.

#5

τοίχο-τοίχο

kostas.zig · #6

gbaloglou έγραψε:τοίχο-τοίχο

Γιώργο, το ξέρω το κομμάτι που μου αφιέρωσες. Δεν προλαβαίνω να το ακούσω μόνο τώρα, φεύγω για το Σχολείο!

kostas.zig · #7

Ο Γιώργος Ρίζος έδωσε την παραπάνω υπόδειξη, η οποία φαίνεται κρυμμένη και όποιος επιθυμεί, μπορεί να δει τι εννοούσε.
Θα δώσω περισσότερες λεπτομέρειες στην πορεία.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

tasos83 · #8

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
kostas.zig έγραψε:Δεν θυμάμαι αν έχει ξανατεθεί αλλά είναι πολύ ωραία για τους μικρούς μας δυνατούς λύτες!
Θυμάμαι, το είχα δει στο Ημερολόγιο της Μαθηματικής Βιβλιοθήκης του 1998
(Προφανώς υπάρχει και αλλού)...
09-1-2011 Hmerologio.jpg
για τους μικρούς μας δυνατούς λύτες...
Προηγούνται οι μαθητές μας!

Μια μικρή υπόδειξη:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
οριζόντιο ανάπτυγμα
Ας το γενικεύσουμε: Αράχνη, μύγα σε τυχαία σημεία των απέναντι τοίχων, ας πούμε με τις υπάρχουσες διαστάσεις του δωματίου. (Δεν το έχω επεξεργαστεί).

Γιώργος Ρίζος

να ρωτήσω κι εγώ κάτι...
τι είναι το "Ημερολόγιο της Μαθηματικής Βιβλιοθήκης του 1998" και δεν έχω ιδέα ;
Μήπως μου κάνει λάθος δώρα ο Αϊ-Βασίλης ???

#9

Αγαπητέ Τάσο, το 1998 ο αξέχαστος συνάδελφος, φίλος, εκδότης Χάρης Βαφειάδης κυκλοφόρησε το Μαθηματικό Ημερολόγιο, ένα μηνιαίο ημερολόγιο τοίχου, όπου σε κάθε μέρα υπήρχε ένα πρόβλημα. Την κατασκευή ή διασκευή τους έκανε η εξαιρετική συνάδελφος Ελένη Μήτσιου, σύζυγος του Χάρη.
Παλαιότερα κυκλοφορούσαν χέρι-χέρι αντίστοιχα ημερολόγια της NCTM (Αμερικάνικη Μαθηματική Εταιρεία), καθώς κι ένα ημερολόγιο του παραρτήματος Πατρών της Ε.Μ.Ε., νομίζω το 1987.

Η απήχηση του Ημερολογίου 1998 ήταν τεράστια. Πολλοί γνώρισαν και αγάπησαν τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά, προτού γίνουν ευρέως γνωστά με τους διαγωνισμούς παραρτημάτων και του Διεθνούς Διαγωνισμού Καγκουρό, του δικού μας Μιχάλη Λάμπρου.

Θυμάμαι, υπήρχε η σκέψη να τυπωθεί ένα βιβλίο με τα θέματα και τις λύσεις. Είχαμε προτείνει τον τίτλο Ten Years After... για να κυκλοφορήσει το 2008, όμως δυστυχώς, έφυγε απρόσμενα από κοντά μας ο Χάρης.

Κατά καιρούς έχουμε αναρτήσει θέματα από το Ημερολόγια. Δες π.χ. εδώ

Τάσο, αν θες περισσότερες πληροφορίες, κάνε ένα τηλέφωνο στο 2310 263163, στη Μαθηματική Βιβλιοθήκη, στη Θεσσαλονίκη.

Με την ευκαιρία, θα δώσει κανείς απάντηση στο αραχνιασμένο (πια)

πρόβλημα που έδωσε ο Κώστας;

#10

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ας το γενικεύσουμε: Αράχνη, μύγα σε τυχαία σημεία των απέναντι τοίχων, ας πούμε με τις υπάρχουσες διαστάσεις του δωματίου. (Δεν το έχω επεξεργαστεί).

Τέσσερις περιπτώσεις (συνημμένες):

(1) $\sqrt{(b-d)^{2}+(a+c+r)^{2}}$

(2) $\sqrt{(b-d)^{2}+(2q-a-c+r)^{2}}$

(3) $\sqrt{(a-c)^{2}+(b+d+r)^{2}}$

(4) $\sqrt{(a-c)^{2}+(2p-b-d+r)^{2}}$

Γιώργος Μπαλόγλου

#11

[Αναφέρομαι στην προηγούμενη ανάρτηση μου.]

Στο πρόβλημα της Μαθηματικής Βιβλιοθήκης 1998 τα δεδομένα είναι* p=12

,

, οπότε οι τέσσερις διαδρομές έχουν μήκη

(1) $\sqrt{(1-11)^{2}+(3+3+30)^{2}}\simeq37,363$

(2) $\sqrt{(1-11)^{2}+(2\cdot6-3-3+30)^{2}}\simeq37,363$

(3) $\sqrt{(3-3)^{2}+(1+11+30)^{2}}=42$

(4) $\sqrt{(3-3)^{2}+(2\cdot12-1-11+30)^{2}}=42$

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ελάχιστη διαδρομή της αράχνης προς την μύγα έχει μήκος 37 μέτρα και 363 χιλιοστά. [Έχουμε δύο αντί για τέσσερις απαντήσεις λόγω συμμετρίας -- η οποία είναι βεβαίως προφανής σ' αυτό το πρόβλημα, απλώς εφάρμοσα τους τέσσερις τύπους για επαλήθευση τους.]

*Βλέπω τώρα ότι δεν διάβασα προσεκτικά το πρόβλημα, και ότι τα σωστά δεδομένα δεν είναι q=6

και

αλλά

και

: μ' αυτά τα δεδομένα η απάντηση φαίνεται να αλλάζει και η ελάχιστη διαδρομή δεν δίνεται πλέον από τις (1) και (2) [ 43,174

] αλλά από τις (3) και (4) [

]. (Κρατάω και την λύση με τα λάθος δεδομένα για σύγκριση.)

Γιώργος Μπαλόγλου

#12

gbaloglou έγραψε:
Τέσσερις περιπτώσεις (συνημμένες):

(1) $\sqrt{(b-d)^{2}+(a+c+r)^{2}}$

(2) $\sqrt{(b-d)^{2}+(2q-a-c+r)^{2}}$

(3) $\sqrt{(a-c)^{2}+(b+d+r)^{2}}$

(4) $\sqrt{(a-c)^{2}+(2p-b-d+r)^{2}}$

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των διαγωνίως απέναντι κορυφών, a=0

,

, οπότε οι τέσσερις διαδρομές μας δίνουν, λόγω συμμετρίας, μόνον δύο μήκη:

(1) $\sqrt{p^{2}+(q+r)^{2}}$

(2) $\sqrt{p^{2}+(q+r)^{2}}$

(3) $\sqrt{q^{2}+(p+r)^{2}}$

(4) $\sqrt{q^{2}+(p+r)^{2}}$

Επειδή όμως έχουμε να κάνουμε με κορυφές, οι διαδρομές πού έγιναν 'κατά μήκος' της ακμής μήκους

θα μπορούσαν να είχαν γίνει και 'κατά μήκος' της ακμής μήκους

(αντίστοιχα μήκη $\sqrt{p^{2}+(r+q)^{2}}$ και $\sqrt{r^{2}+(p+q)^{2}}$ ) ή 'κατά μήκος' της ακμής μήκους

(αντίστοιχα μήκη $\sqrt{r^{2}+(q+p)^{2}}$ και $\sqrt{q^{2}+(r+p)^{2}}$ ).

Συμπεραίνουμε ότι η ελάχιστη διαδρομή ανάμεσα σε δύο διαγωνίως απέναντι κορυφές ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ακμών μήκους

,

έχει μήκος ίσο προς

ΜΙΝ{ $\sqrt{p^{2}+(q+r)^{2}}$ , $\sqrt{q^{2}+(r+p)^{2}}$ , $\sqrt{r^{2}+(p+q)^{2}}$ }

Στην ειδική περίπτωση του κύβου ακμής

,

, η ελάχιστη διαδρομή έχει μήκος $s\sqrt{5}$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

Αράχνη και η μύγα

Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Re: Αράχνη και η μύγα

Μέλη σε σύνδεση