Eκθετική

nonlinear · #1

Να λυθεί η εξίσωση :

$\displaystyle{\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x} = {\left( {\sqrt[6]{2}} \right)^{5 - {x^2} + 2x}} + 2}$

(Νομίζω στο πνεύμα των διαγωνισμών )

kwstas12345 · #2

Πρέπει $\displaystyle x\neq 0$ αλλά και $\displaystyle \left(\sqrt[6]{2} \right)^{5-x^2+2x}=2\left(\sqrt[6]{2} \right)^{-\left(x-1 \right)^{2}}\leqslant 2,\left(x-1 \right)^{2}\geqslant 0$ .

Η εξίσωση εύκολα βλέπουμε πως μετασχηματίζεται στην $\displaystyle x^{2}-2x\left(\sqrt[6]{2} \right)^{-\left(x-1 \right)^{2}}+1=0$ .

Εύκολα βλ'επουμε επίσης $\displaystyle x^{2}-2x\left(\sqrt[6]{2} \right)^{-\left(x-1 \right)^{2}}+1\geqslant x^2-2x+1=\left(x-1 \right)^{2}\geqslant 0$ . Άρα μοναδική λύση θα είναι η x=1

nonlinear · #3

Για λόγους πολυπλοκότητας (η πλουραλισμού) έχουμε :

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2x}}{x} = {\left( {\sqrt[6]{2}} \right)^{5 + 2x - {x^2}}} \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = {\left( {\sqrt[6]{2}} \right)^{5 + 2x - {x^2}}} \\ x + \frac{1}{x} = {\left( {\sqrt[6]{2}} \right)^{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \\ \end{array}}$

Από την τελευταία εξίσωση : $\displaystyle{x + \frac{1}{x} \ge 2}$ και

$\displaystyle{{\left( {\sqrt[6]{2}} \right)^{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \le {\left( {\sqrt[6]{2}} \right)^6} = 2}$

άρα η λύση είναι η x=1

Eκθετική

Eκθετική

Re: Eκθετική

Re: Eκθετική

Μέλη σε σύνδεση