maximum

S.E.Louridas · #1

Εγγράψτε σε δοθέντα κύκλο (Κ,ρ) τρίγωνο μέγιστου Εμβαδού, αιτιολογώντας την απάντηση σας.

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:Εγγράψτε σε δοθέντα κύκλο (Κ,ρ) τρίγωνο μέγιστου Εμβαδού, αιτιολογώντας την απάντηση σας.

S.E.Louridas

Κρατάμε την πλευρά ΑΒ σταθερή (θέση και μέγεθος). Είναι φανερό από το σχήμα ότι καθώς κινείται το Γ, το μέγιστο τρίγωνο είναι όταν το Γ βρεθεί στην κορυφή του μείζονος τόξου ΑΒ. Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ΑΓ=ΒΓ.
Κάνοντας το ίδιο από την ΒΓ, θα είναι ΑΓ=ΑΒ. Τελικά το μέγιστο τρίγωνο είναι το ισόπλευρο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ωmega Man · #3

Μια πολύ ωραία εφαρμογή σε mathematica που έχει και γράφημα με το εμβαδόν.

http://demonstrations.wolfram.com/Large ... InACircle/

#4

S.E.Louridas έγραψε:Εγγράψτε σε δοθέντα κύκλο (Κ,ρ) τρίγωνο μέγιστου Εμβαδού, αιτιολογώντας την απάντηση σας.

Άλλος τρόπος: Από AM-ΓΜ και Jensen έχουμε

$\displaystyle{E = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}(2R \sin A)(2R \sin B)\sin C \le 2R^2 \left(\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \right)^3$

$\displaystyle{\le 2R^2\left( \sin \frac{A+B+C}{3} \right)^3$

$\displaystyle{= 2R^2\left(\sin \frac{\pi}{3} \right)^3$

με ισότητα αν και μόνον $A = B = C = \frac{\pi}{3}$

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικά

S.E.Louridas · #5

Ας μου επιτραπεί ,και μόνο για λόγους πολυφωνίας, να καταθέσω την ημέτερη διαπραγμάτευση.
Η πρώτη κίνηση είναι αυτή που έκανε ο Μιχάλης που καταδεικνύει ότι για τυχόν εγγεγραμμένο τρίγωνο βάσης ΒΓ, υπάρχει το αντίστοιχο εγγεγραμμένο ισοσκελές ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) που έχει μεγαλύτερο από αυτό εμβαδό. Άρα σε μοναδιαίο κύκλο (λόγω ομοιότητας μπορώ να δουλέψω σε μοναδιαίο κύκλο) θεωρώ τυχόν ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με απόστημα της ΒΓ, y και ΒΓ=2x ,οπότε και επειδή με το προηγούμενο πάμε σε ισόπλευρο, αρκεί να αποδείξουμε ότι :
$x(\sqrt {1 - x^2 } + 1) \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }} {4}\,\left( * \right),\tau o\, = \iota \sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota \;o\tau \alpha \nu ,\;x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Η σχέση (*) αποδεικνύεται εύκολα.

S.E.Louridas

maximum

maximum

Re: maximum

Re: maximum

Re: maximum

Re: maximum

Μέλη σε σύνδεση