Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

#1

Παίρνοντας αφορμή από την άσκηση εδώ: viewtopic.php?f=56&t=12812

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $|f(x) - f(y)| \geqslant \sqrt{|x-y|}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$

#2

Υπόδειξη:

Δείτε την λύση του Ηλία για την άσκηση εδώ, και την άσκηση 10α/10β εδώ

#3

Μου ζητήθηκε σε προσωπικό μήνυμα να αναρτήσω την λύση της άσκησης. Δυστυχώς όμως η λύση που είχα υπόψη μου ήταν εντελώς λανθασμένη.

Απολογούμαι σε όσους ταλαιπώρησα. Το ερώτημα όμως παραμένει. Υπάρχει τέτοια συνάρτηση ή όχι; Δυστυχώς δεν γνωρίζω ακόμη την απάντηση. Φυσικά ανάλογα με την λύση που θα δοθεί ίσως το θέμα θα πρέπει να μετακινηθεί και αλλού.

Προς το παρόν μπορώ να δείξω ότι υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί την συνθήκη $|f(x) - f(y)| \geqslant \sqrt{|x-y|}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}$ .

#4

Demetres έγραψε: Προς το παρόν μπορώ να δείξω ότι υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί την συνθήκη $|f(x) - f(y)| \geqslant \sqrt{|x-y|}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}$ .

#5

Για το αρχικό ερώτημα εγώ που το έβαλα μπορεί να μην μπορούσα να το απαντήσω αλλά ο Πέτρος το έβαλε και το απάντησε εδώ.

Για το άλλο ερώτημα, την ύπαρξη δηλαδή συναρτήσεως $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ ώστε $|f(x) - f(y)| \geqslant \sqrt{|x-y|}$ παίρνουμε μια απαρίθμηση $q_1,q_2,\ldots$ των ρητών και ορίζουμε διαδοχικά τα $f(q_1),f(q_2),\ldots$ . Αρχικά ορίζουμε f(q_1) = N_1 = 1

και όταν θα έρθει η στιγμή να ορίσουμε το f(q_n)

το ορίζουμε ως N_n

όπου

είναι ο ελάχιστος φυσικός για τον οποίο ισχύουν $N_n \geqslant N_1,\ldots,N_{n-1},N_1 + \sqrt{|q_n-q_1|},\ldots,N_{n-1}+\sqrt{|q_n - q_{n-1}|$ .

Φαντάζομαι το σχόλιο αυτό το είχα βάλει επειδή η «απόδειξη» που είχα για το αρχικό ερώτημα αποδείκνυε και αυτό οπότε κάθε άλλο παρά απόδειξη ήταν.

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση