Βοήθεια [σε διαφορική εξίσωση]

nikos_aggo · #1

Να λυθεί η δ.ε. $y^{\prime}=\cos(x+y)$ .

mathxl · #2

Νίκο για δες και αυτό: πολλαπλασιάζουμε με f'(x)+1
$\displaystyle{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f'\left( x \right) = \left[ {f'\left( x \right) + 1} \right]\cos \left( {x + f\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f'\left( x \right) = {\left[ {\sin \left( {x + f\left( x \right)} \right)} \right]^\prime }}$
απότι βλέπω , μια λύση είναι η π-χ

Αυτό βέβαια δεν είναι λύση του θέματος!

nikos_aggo · #3

Απο το μεσημέρι έχω σπάσει το κεφάλι μου! Για την ιστορία, το θέμα ζητήθηκε σήμερα στο ΤΕΙ Ηρακλείου

#4

nikos_aggo έγραψε:Να λυθεί η δ.ε. y'=cos(x+y)

Θέσε

, οπότε η δ.ε. γίνεται

$w'=1+\cos w$ ή $\displaystyle{\int \dfrac{dw}{1+\cos w}=\int \,dx+c}$ .

Άρα

$\tan(\frac{x+y}{2})=x+c$ ,

απ'όπου λύνουμε ως προς

.

Επίσης, προφανές λύσεις είναι οι $w=(2k+1)\pi$ , απ'οπου παίρνουμε $y=(2k+1)\pi-x$ ( $k\in \mathbb{Z}$ ).

Φιλικά,

Αχιλλέας

mathxl · #5

Μία άλλη αντιμετώπιση είναι
$\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) - \pi + x}$
$\displaystyle{f'\left( x \right) = \cos \left( {x + f\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) - 1 = \cos \left( {\pi + g\left( x \right)} \right) = - \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{g'\left( x \right) = 2{\sin ^2}\frac{{g\left( x \right)}}{2} \Leftrightarrow - \frac{{g'\left( x \right)}}{{2{{\sin }^2}\frac{{g\left( x \right)}}{2}}} = - 1 \Leftrightarrow {\left[ {\cot \frac{{g\left( x \right)}}{2}} \right]^\prime } = {\left( { - x} \right)^\prime } \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\cot \frac{{g\left( x \right)}}{2} = - x + c}$
και μετά με αντίστροφη...πιο ωραία θα ήταν με αρχικές συνθήκες και π.ο.

#6

nikos_aggo έγραψε:Να λυθεί η δ.ε. y'=cos(x+y)

Θέτουμε

οπότε η εξίσωση γίνεται $w ' - 1= \cos w$ άρα $w ' = 1+ \cos w$ , συνεπώς

$\int \frac {dw}{1+ \cos w} = x+c$ . Η ολοκλήρωση είναι γνωστή (με μετασχηματισμό $t = tan \frac{w}{2}$ ή από $1+ \cos w = \cos ^2 \frac{w}{2}$ ). Τελικά

$tan \frac{w}{2} = x+c$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ουπς. Με πρόλαβε ο Αχιλλέας, με ακριβώς την ίδια λύση.

Βοήθεια [σε διαφορική εξίσωση]

Βοήθεια [σε διαφορική εξίσωση]

Re: Βοήθεια

Re: Βοήθεια

Re: Βοήθεια

Re: Βοήθεια

Re: Βοήθεια

Μέλη σε σύνδεση