Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Μάιος 09, 2009 4:08 am

Αναρτω μερικα θεματα που πιστευω χρηζουν καποιας προσοχης με αφορμη τις πανελληνιες εξετασεις :

ΘΕΜΑ 1ο

Δινεται η συναρτηση \displaystyle{\displaystyle f(x) = x \cdot \sqrt {1 + {x^2}}  + \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} για οποια ζητειται να δειχθουν τα ακολουθα :
1)Να βρεθει το πεδιο και συνολο τιμων της συναρτησης και να δειχθει οτι ειναι περιττη
2)Να δειχθει οτι \displaystyle{\displaystyle f(x) \ge {x^2}} για καθε \displaystyle{\displaystyle x \ge 0}
3)Να υπολογισετε το εμβαδο της περιοχης που περιεχει ακριβως τα σημεια
(x,y) του επιπεδου με :

\displaystyle{\displaystyle 0 \le x \le \frac{3}{4}} και \displaystyle{\displaystyle {x^2} \le y \le f(x)}

(Το y στην δεύτερη ανισότητα δεν αναφέρεται στην f(x))

ΘΕΜΑ 2ο

Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση \displaystyle{\displaystyle f} στο συνολο των πραγματικων αριθμων

Εαν \displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f^{\prime}(x) = l} να βρειτε το

\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \int\limits_x^{x + 1} {\left[ {f(t + 1) - f(t)} \right]dt} }.

Να βρεθει το \displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \int\limits_x^{x + 1} {\left[ {\frac{t}{{t + 1}} \cdot \ln (t + 1) - \frac{1}{t}\ln (t)} \right]dt} }

ΘΕΜΑ 3ο

Να δειξετε οτι αν \displaystyle{\displaystyle f} συνεχης συναρτηση στο διαστημα [α,β] υπαρχει
\displaystyle{\displaystyle \xi  \in \left( {\alpha ,\beta } \right)} τετοι ωστε :

\displaystyle{\displaystyle \int\limits_a^\xi  {\left( {{\xi ^2} + 1} \right)}  \cdot {e^{f(t)}} \cdot dt = \int\limits_\xi ^\beta  {\left( {{t^2} + 1} \right)}  \cdot {e^{f(\xi )}} \cdot dt}


ΘΕΜΑ 4ο

Εστω \displaystyle{\displaystyle f:R \to R} συναρτηση συνεχης στο R και τετοια ωστε να ειναι :

\displaystyle{\displaystyle \int\limits_0^x {f(t) \cdot dt}  = x + \int\limits_0^x {(t - x)}  \cdot f(t) \cdot dt} και \displaystyle{\displaystyle \forall x \in R}.

α)Να δειξετε οτι \displaystyle{\displaystyle f(0) = 1} και οτι η συναρτηση ειναι παραγωγισιμη
β)Να βρεθει η συναρτηση \displaystyle{\displaystyle f}

ΘΕΜΑ 5ο

Να βρειτε την τιμη του \displaystyle{\displaystyle a \in R} για την οποια το εμβαδον της περιοχης που περικλειεται απο το γραφημα της συναρτησης με τυπο \displaystyle{\displaystyle f(x) = a - {x^2}}
και τις ευθειες \displaystyle{\displaystyle x =  - 1,x = 1} ειναι ισο με \displaystyle{\displaystyle \frac{4}{3}}.

ΘΕΜΑ 6ο

Εστω \displaystyle{\displaystyle f:R \to \left( {0, + \infty } \right)} παραγωγισιμη συναρτηση στο R με συνεχη την πρωτη παραγωγο και \displaystyle{\displaystyle G:R \to R} η συναρτηση με τυπο :

\displaystyle{\displaystyle G(t) = \int\limits_0^t {\frac{{f(x) \cdot f^{\prime}(t - x)}}{{{{\left[ {f(x) + f(t - x)} \right]}^2}}}}  \cdot dx{\rm{ , }}\forall t \in R}

Να δειξετε οτι η \displaystyle{\displaystyle G} ειναι παραγωγισιμη και να υπολογισετε την \displaystyle{\displaystyle G^{\prime}(0)}.

ΘΕΜΑ 7ο

Εστω συναρτηση \displaystyle{\displaystyle f} συνεχης , αυστηρως αυξουσα και θετικη στο διαστημα
\displaystyle{\displaystyle [a,\beta ]} οπου \displaystyle{\displaystyle 0 < \alpha  < \beta } και \displaystyle{\displaystyle f(a) = \gamma ,f(\beta ) = \delta } με \displaystyle{\displaystyle 0 < \gamma  < \delta }.

Να υπολογισετε την τιμη της παραστασης :

\displaystyle{\displaystyle \int\limits_a^\beta  {f(x) \cdot dx}  + \int\limits_\gamma ^\delta  {{f^{ - 1}}(x) \cdot dx} }.

Δινονται οι συναρτησεις \displaystyle{\varphi (x) = {e^{{x^2}}}} και \displaystyle{\kappa (x) = \sqrt {\ln (x)} } . Να υπολογισθεί η ακόλουθη ποσότητα :

\displaystyle{J = \int\limits_0^1 {\varphi (x) \cdot dx} + \int\limits_1^2 {\kappa (x) \cdot dx} }

ΘΕΜΑ 8ο

Να εξετασετε αν υπαρχει μιγαδικος αριθμος \displaystyle{z \in {\Bbb C}} για τον οποιο ισχυουν οι δυο ακολουθες σχεσεις :

\displaystyle{{z^{2\nu }} = - 7 + 24 \cdot i} και \displaystyle{\left| {{z^\nu } + 4 - 3 \cdot i} \right| = \sqrt {55} } για \displaystyle{v \in {N^*}}.

ΘΕΜΑ 9ο

Να βρεθουν οι αριθμοι \displaystyle{z \in {\Bbb C}} και \displaystyle{\nu \in {{\rm N}^*}}
ωστε να ισχυουν οι ακολουθες σχεσεις :

\displaystyle{\left| z \right| = 2,{\text{ }}\left| {{z^\nu } - {2^\nu }} \right| = {2^{{\nu ^2} - 5 \cdot \nu + 10}}} και \displaystyle{\pi /4 < Arg(z) < \pi /2}.

ΘΕΜΑ 10ο

Θεωρουμε τους μιγαδικους αριθμους \displaystyle{{z_1},{z_2},{z_3}} τετοιους ωστε να ειναι
\displaystyle{\left| {{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}} \right| = a} και \displaystyle{\left| {{z_3} \cdot {z_1} \cdot {z_2}} \right| = \beta } οπου \displaystyle{a,\beta > 0}.

Να δειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον αναμεσα τους εστω \displaystyle{{z_\lambda }} ωστε να ισχυει οτι : \displaystyle{\left| {{z_\lambda }} \right| \leqslant \frac{{3 \cdot \beta }}{a}}.

ΘΕΜΑ 11ο

Να βρειτε την συναρτηση \displaystyle{f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to R} με συνεχη πρωτη παραγωγο η οποια ικανοποιει την ακολουθη συνθηκη :

\displaystyle{\int\limits_\gamma ^\delta {f(x) \cdot dx} = \frac{{f(\gamma ) + f(\delta )}}
{2} \cdot \left( {\gamma - \delta } \right)}

οπου \displaystyle{\alpha \leqslant \gamma \leqslant \delta \leqslant \beta }
τελευταία επεξεργασία από papel σε Τετ Νοέμ 18, 2009 4:46 am, έχει επεξεργασθεί 9 φορές συνολικά.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Μάιος 09, 2009 8:35 am

Ξεκινάω με το 5ο ΘΕΜΑ

Είναι \int\limits_{ - 1}^1 {(\alpha  - x^2 )dx}  = ... = 2\alpha  - \frac{2}{3}

Οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Αν α > 0 (σχήμα 1ο) η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι πάνω από τον οριζόντιο άξονα και έχουμε:
E = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {(\alpha  - x^2 )dx}  = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 2\alpha  - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \alpha  = 1
Αν α < 0 ή α = 0 (σχήμα 2ο) τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάτω από τον οριζόντιο άξονα και έχουμε:
E = \frac{4}{3} \Leftrightarrow  - \int\limits_{ - 1}^1 {(\alpha  - x^2 )dx}  = \frac{4}{3} \Leftrightarrow  - 2\alpha  + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \alpha  =  - \frac{1}{3}
Συνημμένα
5ο.PNG
5ο.PNG (9.75 KiB) Προβλήθηκε 3340 φορές


Καρδαμίτσης Σπύρος
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Μάιος 09, 2009 8:56 am

Συμπληρωνοντας την προηγουμενη απαντηση προσθετω την ακολουθη διευρευνηση :

α)α>=1 τοτε το τμημα του διαγραματος βρισκεται πανω απο τον χχ' και η συνθηκη
Ε=4/3 αληθευει για α=1.
β)0<α<1 Ενδιαφερουσα περιπτωση οταν το α κινειται σε αυτο το διαστημα.Υπαρχει τιμη του
α ωστε να ικανοποιεται η συνθηκη Ε=4/3 ;
γ)α<0 Τοτε το τμημα του διαγραματος βρισκεται κατω απο τον χχ' και η συνθηκη Ε=4/3
αληθευει για α=-1/3.
Το θεμα που μενει ειναι το β) το οποιο η απαντηση του Σπυρου δεν καλυπτει.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Μάιος 09, 2009 10:10 am

7ο ΘΕΜΑ

Αφού η συνάρτηση είναι αυστηρώς αύξουσα στο [α, β] είναι 1 – 1 συνεπώς υπάρχει η αντίστροφή της.

Θέτουμε f^{ - 1} (x) = u \Leftrightarrow x = f(u)
Τότε είναι dx = f^{\prime}(u)du
Και για τα νέα όρια έχουμε :
για x = γ τότε u = f^{ - 1} (\gamma ) = \alpha
για x = δ τότε u = f^{ - 1} (\delta ) = \beta
επομένως

\int\limits_\alpha ^\beta  {f(x)dx}  + \int\limits_\gamma ^\delta  {f^{ - 1} (x)dx}  = \int\limits_\alpha ^\beta  {f(x)dx}  + \int\limits_\alpha ^\beta  {uf^{\prime}(u)du}  = \int\limits_\alpha ^\beta  {f(x)dx}  + \int\limits_\alpha ^\beta  {xf^{\prime}(x)dx}  = \int\limits_\alpha ^\beta  {f(x)dx}  + \left[ {xf(x)} \right]_\alpha ^\beta   - \int\limits_\alpha ^\beta  {f(x)dx}  = – αf(α) + βf(β)
= βδ – αγ

Σχόλιο
Για τον υπολογισμό της παράστασης των ολοκληρωμάτων εμφανίζεται η παράγωγος της συνάρτησης και θα πρέπει να δίνεται ότι αυτή είναι συνεχής.


Καρδαμίτσης Σπύρος
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Μάιος 09, 2009 10:50 am

To 7ο θεμα ειναι το θεμα του ΑΣΕΠ 2000 (ατοφιο) και 2002 (συγκαλυμενο) το προσθεσα τωρα στην εκφωνηση.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Σάβ Μάιος 09, 2009 11:32 am

papel έγραψε:Συμπληρωνοντας την προηγουμενη απαντηση προσθετω την ακολουθη διευρευνηση :

α)α>=1 τοτε το τμημα του διαγραματος βρισκεται πανω απο τον χχ' και η συνθηκη
Ε=4/3 αληθευει για α=1.
β)0<α<1 Ενδιαφερουσα περιπτωση οταν το α κινειται σε αυτο το διαστημα.Υπαρχει τιμη του
α ωστε να ικανοποιεται η συνθηκη Ε=4/3 ;
γ)α<0 Τοτε το τμημα του διαγραματος βρισκεται κατω απο τον χχ' και η συνθηκη Ε=4/3
αληθευει για α=-1/3.
Το θεμα που μενει ειναι το β) το οποιο η απαντηση του Σπυρου δεν καλυπτει.
Καλημέρα (ΑΣΚΗΣΗ 5)
Αν 0<α<1 τότε η f(x) = 0 έχει ρίζες τις -\sqrt{a} και \sqrt{a} που προφανώς βρίσκονται στο διάστημα [-1,1].
Τώρα είναι f(x)\geq 0 στο [-\sqrt{a},\sqrt{a}] και f(x)\leq 0 στα διαστήματα [-1,-\sqrt{a}] και [\sqrt{a},1]
Ε = \int_{-1}^{1}{\left|f(x) \right|dx}
Μετά τον υπολογισμό και λύνοντας τριτοβάθμια εξίσωση η συνθήκη ικανοποιείται για α =1 που απορρίπτεται. Τελικά δεν βρίσκουμε τιμή του α με 0<α<1 ώστε Ε = 4/3
Αυτά αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις.
Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Μάιος 09, 2009 1:46 pm

papel έγραψε: ΘΕΜΑ 3ο

Να δειξετε οτι αν f συνεχης συναρτηση στο διαστημα [α,β] υπαρχει \xi  \in \left( {\alpha ,\beta } \right) τετοι ωστε :

\int\limits_a^\xi  {\left( {{\xi ^2} + 1} \right)}  \cdot {e^{f(t)}} \cdot dt = \int\limits_\xi ^\beta  {\left( {{t^2} + 1} \right)}  \cdot {e^{f(\xi )}} \cdot dt
.
εφαρμόζω Θ.Rolle για την h(x)=\big(\int_a^x{e^{f(t)}d t\big) \cdot \big(\int_{\beta}^x{(t^2+1)d t}\big) στο [α,β]


Φωτεινή Καλδή
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Σάβ Μάιος 09, 2009 4:39 pm

papel έγραψε:
ΘΕΜΑ 10ο

Θεωρουμε τους μιγαδικους αριθμους {z_1},{z_2},{z_3} τετοιους ωστε να ειναι
\left| {{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}} \right| = a και \left| {{z_3} \cdot {z_1} \cdot {z_2}} \right| = \beta οπου a,\beta  > 0.

Να δειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον αναμεσα τους εστω {z_\lambda } ωστε να ισχυει οτι : \left| {{z_\lambda }} \right| \leqslant \frac{{3 \cdot \beta }}{a}.
Έστω ότι \left|z_1 \right|>\frac{3\beta }{a} ,\left|z_2 \right|>\frac{3\beta }{a} και \left|z_3 \right|>\frac{3\beta }{a}

\left| {{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}} \right| = a \Leftrightarrow \frac{\left|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1 \right|}{\left|z_1z_2z_3 \right|}=\frac{\alpha }{\beta } \Leftrightarrow\left|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3} \right |=\frac{\alpha }{\beta } (1)

Όμως \left|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3} \right |\leq \left|\frac{1}{z_1} \right |+\left|\frac{1}{z_2} \right|+\left|\frac{1}{z_3} \right|< \frac{\alpha }{3\beta } +\frac{\alpha }{3\beta }+\frac{\alpha }{3\beta } , δηλαδή \left| \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3} \right |< \frac{\alpha }{\beta } (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει \frac{\alpha }{\beta } <\frac{\alpha }{\beta }, άτοπο .

Έτσι \left|z_1 \right|\leq\frac{3\beta }{a} ή \left|z_2 \right|\leq\frac{3\beta }{a} ή \left|z_3 \right|\leq\frac{3\beta }{a}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Μάιος 09, 2009 5:01 pm

ΘΕΜΑ 8ο

Να εξετασετε αν υπαρχει μιγαδικος αριθμος z \in {\Bbb C} για τον οποιο ισχυουν οι δυο ακολουθες σχεσεις :

{z^{2\nu }} =  - 7 + 24 \cdot i,\,(1) και \left| {{z^\nu } + 4 - 3 \cdot i} \right| = \sqrt {55},\,(2) για v \in {N^*}.
====================


από την (1)--->{z^{\nu }} =  - 3 - 4 \cdot i, ή {z^{\nu }} =   3 + 4 \cdot i, οπότε

\left| {{z^\nu } + 4 - 3 \cdot i} \right| = |- 3 - 4 \cdot i+ 4 - 3 \cdot i}| \right| = |1 - 7 \cdot i|=\sqrt{50} ή

\left| {{z^\nu } + 4 - 3 \cdot i} \right| = | 3 + 4 \cdot i+ 4 - 3 \cdot i} |\right| = |7 +   \cdot i|=\sqrt{50}

άρα δεν υπάρχει τέτοιος μιγαδικός z


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Μάιος 09, 2009 5:40 pm

ΘΕΜΑ 9ο
Υψώνουμε την πρώτη σχέση στην νιοστή και ΄θέτουμε \displaystyle{{z^\nu } = \omega }, έπειτα σκεφτόμαστε γεωμετρικά για τον γεωμετρικό τόπο του ω. Αφού υπάρχει τέτοιος ω πρέπει οι δύο κύκλοι να έχουν σημεία τομής. Αυτό συμβαίνει όταν \displaystyle{2 \cdot {2^\nu } \ge {2^{{\nu ^2} - 5\nu  + 10}} \Leftrightarrow \nu  = 3}, Βρίσκουμε ότι \displaystyle{\omega  =  - 8 \Leftrightarrow {z^3} =  - 8 \Leftrightarrow z =  - 2 \vee z = 1 \pm i\sqrt 3 }
Μχμχμ... ξέχασα το πρωτεύον όρισμα...άρα δεκτός ο 1+ι ρίζα(3) με Arg(z)=π/3


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Μάιος 09, 2009 8:50 pm

Για το 1ο Θέμα με δεδομένο ότι y = f(x) η συνθήκη
x^2  \le y \le f(x) μου είναι ασαφής και δεν την καταλαβαίνω, μήπως να την ξανακοιτάξουμε;


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Μάιος 09, 2009 8:54 pm

Νομίζω, εννοεί πως τα σηεμία του χωρίου έχουν τεταγμένη ανάμεσα στις γραφικές της χ τετράγωνο και της f, δηλαδή θέλει το \displaystyle{\int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\left| {f\left( x \right) - {x^2}} \right|dx} }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Μάιος 09, 2009 8:58 pm

Εχω επαναδιατυπωσει το ερωτημα.Εαν θελετε να το ξαναδειτε.Νομιζω οτι τωρα ειναι ξεκαθαρο.
Ο mathxl εβαλε απολυτη τιμη στο ολοκληρωμα ειναι αναγκαια αυτη λογω του β ερωτηματος ;


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Μάιος 09, 2009 9:10 pm

Όχι δεν είναι
Απλά είδα μόνο αυτό που ρώτησε ο Σπύρος (δεν είδα καθόλου τα άλλα υποερωτήματα από τα οποία φαίνεται το πρόσημο της διαφοράς).Γενικά δεν ασχολήθηκα με αυτήν την άσκηση...


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Δευ Μάιος 18, 2009 3:55 pm

=========================ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ=====================
Δινω τις απαντησεις και υποδειξεις για τα θεματα που ειχα προτεινει σε αυτο το ποστ ωστε να τα εχουν
ολοι εκεινοι που θα τα βρουν χρησιμα ενοψει των εξετασεων της κατευθυνσης.

ΘΕΜΑ 1ο
Απαντηση :
α)Πεδιο και συνολο ορισμου ειναι το R.Για να δειξω οτι ειναι περιττη θα πρεπει να δειξω οτι : f(x)=f(-x)
οπου το χ ανηκει στο πεδιο ορισμου.Δειχνεται ευκολα και καπου χρειαζεται η ταυτοτητα ln(1/g(x))=-ln(g(x)).
β)Δυσκολο ερωτημα αυτο. Η παραγωγος της συναρτησης ειναι :

\displaystyle{f^{\prime}(x) = 2\sqrt {1 + {x^2}} } Επειδη \displaystyle{x \geqslant 0} θα ειναι \displaystyle{f^{\prime}(x) > 2\sqrt {{x^2}} = 2x} . Αλλα \displaystyle{{\left[ {f(x) - {x^2}} \right]^\prime } = f(x) - 2x > 0} για καθε \displaystyle{x \geqslant 0} με ελεγχο της μονοτονιας (ποιας παραστασης ?) βρισκω το ζητουμενο.

Το ζητουμενο εμβαδον ειναι : E= 1/4*ln8-(7/96) (ln φυσικος λογαριθμος)

ΘΕΜΑ 2ο
Απαντηση :

α) Θεωρω την συναρτηση \displaystyle{G(x) = \int\limits_x^{x + 1} {\left[ {f(t + 1) - f(t)} \right]dt} } και εφαρμοζω καταλληλα το ΘΜΤ του ολοκληρωτικου λογισμου. Για την συναρτηση f εφαρμοζω
καταλληλα το ΘΜΤ του διαφορικου λογισμου και συνδυαζοντας τα δυο βρισκω το οριο ισο με \displaystyle{l}.
β)Εδω παιρνοντας υποψη το α βρισκω το δευτερο οριο ισο με 0.

ΘΕΜΑ 3ο
Απαντηση :

Εφαρμοζω το θεωρημα Rolle στο διαστημα [α,β] για την συναρτηση :

\displaystyle{J(x) = \int\limits_a^x {{e^{f(t)}}} dt\int\limits_x^\beta {\left( {{t^2} + 1} \right)} dt}

(Στην οποια καταληγω μετασχηματιζοντας την αρχικη εξισωση.Η λυση της Φωτεινης ειναι η ιδια με αυτο που
δινω και εγω.)

ΘΕΜΑ 4ο

Απαντηση :

Εφοσon η f συνεχης και τα δυο μελης της δοθεισας εξισωσης ειναι συναρτησεις παραγωγισιμες.
Παραγωγιζοντας ως προς x την δοθεισα εξισωση βρισκουμε τελικα οτι η συναρτηση ειναι \displaystyle{f(x) = {e^{ - x}}}.

ΘΕΜΑ 5ο

Απαντηση : Εχει αντιμετωπιστει απο τους συναδελφους και οι τιμες του α ειναι α=1 η α= -1/3.

ΘΕΜΑ 6ο

Θετω \displaystyle{t - x = u} και με t σταθερα καταληγω σε μια νεα σχεση.
Αυτην και την αρχικη τις προσθετω και τελικα βρισκω οτι :

\displaystyle{\Phi (t) = \frac{1}
{2} \cdot \frac{{f(t) - f(0)}}
{{f(t) + f(0)}}}

Απο οπου προκυπτει οτι : \displaystyle{\Phi^{\prime}(0) = \frac{{f^{\prime}(0)}}
{{4 \cdot f(0)}}}.

ΘΕΜΑ 7ο

Απαντηση :

Εχει αντιμετωπιστει απο συναδελφους και στο β εφαρμοζω το α.

ΘΕΜΑ 8ο

Απαντηση :
Θετουμε \displaystyle{{z^\nu } = x + yi} οποτε \displaystyle{{z^{2\nu }} = {x^2} - {y^2} + 2xyi}

Αντικαθιστωντας στην πρωτη εξισωση παιρνουμε οτι :

\displaystyle{{z^\nu } = 3 + 4i} η \displaystyle{{z^\nu } = - 3 - 4i}

Αντικαθιστωντας στην δευτερη και τις δυο τιμες δεν ικανοποιουνται οι συνθηκες αρα δεν υπαρχει
ο ζητουμενος μιγαδικος z.

(H λυση της Φωτεινης μαγικα φτανει στις δυο τιμες.Αρχιζω και την φοβαμαι για τις ικανοτητες της.)

ΘΕΜΑ 9ο

Απαντηση :

Ο μιγαδικος αριθμος z γραφεται στην μορφη \displaystyle{z = 2\left( {\sigma \upsilon \nu \theta + i\eta \mu \theta } \right)} και \displaystyle{\theta = Argz} οπου το θ παιζει στο π/4<θ<π/2.
Τοτε εφαρμοζοντας DeMoivre θα εχω οτι : \displaystyle{{z^\nu } = {2^\nu } \cdot \left( {\sigma \upsilon \nu \left( {\nu \theta } \right) + i\eta \mu \left( {\nu \theta } \right)} \right)}.
Αντικαθιστωντας στην δευτερη σχεση βρισκω (μετα απο πραξουλες) οτι : \displaystyle{\nu = 3{\text{ , }}\theta = \frac{\pi }
{3}}.
Αρα ο μιγαδικος ειναι ο \displaystyle{z = 1 + i\sqrt 3 }.

ΘΕΜΑ 10ο

Απαντηση: Εχει αντιμετωπιστει απο συναδελφους.

ΘΕΜΑ 11ο (Δεν νομιζω να πεσει κατι τετοιο απλα να το εχουμε υποψη.)

Απαντηση : Παραγωγιζοντας μια ως προς γ και μια προς δ βρισκουμε τελικα οτι :

\displaystyle{f^{\prime}\left( \gamma \right) = f^{\prime}\left( \delta \right)}.
Αρα η πρωτη παραγωγος ειναι σταθερη \displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) = c} και συνεπως ειναι γραμμικη συναρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = mx + c} για καποιες σταθερες m και c.

Αυτα και ευχαριστω ολους τους συναδελφους που ασχοληθηκαν.
τελευταία επεξεργασία από papel σε Δευ Μάιος 18, 2009 10:02 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Δευ Μάιος 18, 2009 8:54 pm

Το ολοκληρωμα στο 1 ΠΩΣ το βρηκατε;
Εγω αναγκαστικα να κανω παραγοντικη!Γινεται και αλλιως;
Το 3ο βγαινει και με bolzano για την διαφορα στο [α,β] παρα πολυ απλα νομιζω!


papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων (ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΤΩΡΑ)

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Δευ Μάιος 18, 2009 9:52 pm

Ας δουμε το ολοκληρωμα στο 1ο Θεμα :

Το ζητουμενο εμβαδον ειναι :

\displaystyle{E = \int\limits_0^{3/4} {\left[ {f(x) - {x^2}} \right]} \cdot dx = \int\limits_0^{3/4} {f(x)dx} - \left[ {\frac{{{x^3}}}
{3}} \right]_0^{3/4} = \int\limits_0^{3/4} {f(x)dx} - \frac{9}
{{64}}}

Ειναι ομως :

\displaystyle{\int\limits_0^{3/4} {f(x)dx} = \int\limits_0^{3/4} {x\sqrt {1 + {x^2}} } dx + \int\limits_0^{3/4} {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} = {I_1} + {I_2}}

Και ομως :

Το \displaystyle{{I_1} = \frac{{61}}
{{192}}}

και το

\displaystyle{\eqalign{
& {I_2} = \int\limits_0^{3/4} {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} {\left( x \right)^\prime }dx = \left[ {x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]_0^{3/4} - \int\limits_0^{3/4} {\frac{x}
{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot } dx = \cr
& = \frac{1}
{4} \cdot \left( {\ln 8 - 1} \right) \cr} }.

Αθροιζοντας τα ολα ειναι :

Ε=1/4*(ln8)-7/96
τελευταία επεξεργασία από papel σε Δευ Μάιος 18, 2009 10:00 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μάιος 18, 2009 9:53 pm

αγαπητέ papel
αν κοιτάξεις καλά θα δεις ότι η συνάρτηση που δίνω δεν έχει λαθάκι,γιατί
h(x)=-J(x),όπουhαυτή που δίνω εγώ και Jαυτή που δίνεις εσύ
όσο για το δεύτερο που λες δεν έφτασα ''μαγικά''εκεί απλά δεν έγραψα τις πράξεις---μη με φοβάσαι λοιπόν για τις ικανότητές μου
papel έγραψε: ΘΕΜΑ 3ο
Απαντηση :
Εφαρμοζω το θεωρημα Rolle στο διαστημα [α,β] για την συναρτηση :
J(x) = \int\limits_a^x {{e^{f(t)}}} dt\int\limits_x^\beta  {\left( {{t^2} + 1} \right)} dt

(Στην οποια καταληγω μετασχηματιζοντας την αρχικη εξισωση.Η λυση της Φωτεινης εχει ενα μικρο λαθακι)

ΘΕΜΑ 8ο
Απαντηση :
Θετουμε {z^\nu } = x + yi οποτε {z^{2\nu }} = {x^2} - {y^2} + 2xyi

Αντικαθιστωντας στην πρωτη εξισωση παιρνουμε οτι :

{z^\nu } = 3 + 4i η {z^\nu } =  - 3 - 4i

Αντικαθιστωντας στην δευτερη και τις δυο τιμες δεν ικανοποιουνται οι συνθηκες αρα δεν υπαρχει
ο ζητουμενος μιγαδικος z.

(H λυση της Φωτεινης μαγικα φτανει στις δυο τιμες.Αρχιζω και την φοβαμαι για τις ικανοτητες της.)
.
joulia1961 έγραψε:
papel έγραψε: ΘΕΜΑ 3ο

Να δειξετε οτι αν f συνεχης συναρτηση στο διαστημα [α,β] υπαρχει \xi  \in \left( {\alpha ,\beta } \right) τετοι ωστε :

\int\limits_a^\xi  {\left( {{\xi ^2} + 1} \right)}  \cdot {e^{f(t)}} \cdot dt = \int\limits_\xi ^\beta  {\left( {{t^2} + 1} \right)}  \cdot {e^{f(\xi )}} \cdot dt
.
εφαρμόζω Θ.Rolle για την h(x)=\big(\int_a^x{e^{f(t)}d t\big) \cdot \big(\int_{\beta}^x{(t^2+1)d t}\big) στο [α,β]


Φωτεινή Καλδή
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων (ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΤΩΡΑ)

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Δευ Μάιος 18, 2009 10:04 pm

Φωτεινη οντως εχεις δικιο για το 3ο τωρα το ειδα και εγω.
Οσο για την μαγεια χρειαζεται καμια φορα και στην ζωη και στα Μαθηματικα.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Re: Προτεινομενα Θεματα Εξετασεων (ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΤΩΡΑ)

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Δευ Μάιος 18, 2009 10:30 pm

SOS:Πώς παραγωγιζετε στο 4ο?Αφου το χ υπαρχει μεσα στο ολοκληρωμα!
Ευχαριστω πολυ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες