Πλήθος ριζών εξίσωσης

pito · #1

Καλησπέρα

. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e*(1/x)=α/χ για τις διάφορες τιμές του πραγματικού α.

#2

μια γρήγορη απάντηση μέσω γραφικής παράστασης…..

για $\left| a \right|<e$ και $a\ne 0$ μία στο $(-\infty ,\,\,0)$
για $\left| a \right|=e$ μία στο $(-\infty ,\,\,0)$ και την x=1

και για

$\left| a \right|>e$ μία στο $(-\infty ,\,\,0)$ , μία στο $(0,\,\,1)$ και μία στο $(1,\,\,+\infty )$

#3

...και με απόδειξη...

Κατ΄αρχάς πρέπει το $a\ne 0$ και $\frac{a}{x}>0$ κατόπιν έχουμε $\ln {{e}^{\frac{1}{x}}}=\ln \frac{a}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\ln \left| a \right|-\ln \left| x \right|\Leftrightarrow \ln \left| x \right|+\frac{1}{x}=\ln \left| a \right|$ (1)

Τώρα μελετώντας την συνάρτηση $f(x)=\ln \left| x \right|+\frac{1}{x},\,\,x\ne 0$ έχουμε ${f}'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{x-1}{{{x}^{2}}}$ οπότε

στο ${{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,0)$ είναι γνήσια φθίνουσα άρα το σύνολο τιμών της είναι $f({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )=R$

στο ${{\Delta }_{2}}=(0,\,\,1]$ είναι γνήσια φθίνουσα άρα το σύνολο τιμών της είναι $f({{\Delta }_{2}})=[f(1),\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))=[1,\,+\infty )$

και στο ${{\Delta }_{3}}=[1,\,\,+\infty )$ είναι γνήσια αύξουσα άρα το σύνολο τιμών της είναι $f({{\Delta }_{3}})=[\,f(1),\,\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=[1,\,\,+\infty )$
έτσι σύμφωνα με τα παραπάνω λόγω της (1)

αν $\ln \left| a \right|<1\Leftrightarrow \left| a \right|<e,\,\,a\ne 0$ έχουμε μοναδική λύση στο $(-\infty ,\,0)$

αν $\ln \left| a \right|=1\Leftrightarrow \left| a \right|=e$ έχουμε λύση την x=1

και μία στο $(-\infty ,\,0)$

και αν $\ln \left| a \right|>1\Leftrightarrow \left| a \right|>e$ έχουμε μία λύση στο $(-\infty ,\,0)$ , μία στο $(0,\,\,1)$ και μία στο $(1,\,\,+\infty )$

pito · #4

Σας ευχαριστώ θερμά για την ενασχόληση!

Πλήθος ριζών εξίσωσης

Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση