Κλασική για μας , αλλά για τους μαθητές ;

#1

Απόψε που περνούσα ξανά τα ολοκληρώματα, σκέφτηκα να κλείσω μια ολόκληρη κατηγορία ασκήσεων με μια ασκησούλα , όπως η παρακάτω.Αν και το στιλ αυτό θεωρείται τελείως κλασικό και συνεπώς κάπως παλαιομοδότικο για τις εξετάσεις, πάντα έχει και λίγη γοητεία.

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω

μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb R$ που είναι συνεχής στο

και έχει την ιδιότητα :

f(x+y)=f(x)+f(y) + 6xy

για κάθε $x,y \in \mathbb R$

α) Να αποδειχθεί ότι η

είναι συνεχής .

β) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : $I= \int _{-1}^1 f(x)dx$

γ) Αν η

είναι και παραγωγίσιμη στο

με

, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

.

Μπάμπης

#2

αποσύρω την υπόδειξη

Savvass · #3

Μια προσπάθεια:
*Δεν το κατέχω το λάτεξ οπότε θα προσπαθήσω να περιγράψω την λύση μου.

α) Θέτουμε αρχικά x=y=0 και έχουμε f(0)=0.
Μετά παίρνουμε όριο στα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης με το y να τείνει στο 0 και προκύπτει η συνέχεια.

β)Θέτουμε στην δοσμένη y=-x και τελικά προκύπτει f(x)+f(-x)=6x^2 (1)

Το ολοκλήρωμα το σπάμε στο 0, αντικαθιστούμε σε ένα απο τα 2 ολοκληρώματα οπου x το -x και τέλος χρησιμοποιώντας την (1) βγάζουμε I=2.

γ)Παραγωγίζουμε ως προ x, και χρησιμοποιώντας και το f'(0)=0 αλλά και το f(0)=0 παίρνουμε f(x)=3x^2.

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

α) Αν x = y =0, η αρχική σχέση δίνει f(0) = 0.

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x)\mathop = \limits^{h = x - x_0 } \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(h + x_0 ) = \mathop {\lim } \limits_{h \to 0} (f(h) + f(x_0 ) + 6hx_0 ) = f(0) + f(x_0 ) + 0 = f(x_0 )}$

β) Για y = -x, προκύπτει, $\displaystyle{f(0) = f(x) + f( - x) - 6x^2 \Rightarrow f(x) + f( - x) = 6x^2 \Rightarrow \int_{ - 1}^1 {\left ( {f(x) + f( - x)} \right)dx} = \int_{ - 1}^1 {6x^2 dx} }$

$\displaystyle{\int_{ - 1}^1 {f( - x)dx} \mathop = \limits^{ - u} = \int_1^{ - 1} {f(u)( - du) = \int_{ - 1}^1 {f(x)dx} }}$

$\displaystyle{ 2\int_{ - 1}^1 {f(x)dx = [2x^3 ]\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 1} \\ \end{array}} \Rightarrow \int_{ - 1}^1 {f(x)dx = 2} }$

γ) $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(h + x_0 ) - f(x_0 )}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(h) + f(x_0 ) + 6hx_0 - f(x_0 )}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(h) - f(0)}}{h} + 6x_0 } \right) = f^/ (0) + 6x_0 = f^/ (x_0 ) }$

$\displaystyle{ f^/ (x) = 6x \Rightarrow f(x) = 3x^2 + c \Rightarrow f(x) = 3x^2 }$

Εύκολα επαληθεύουμε ότι η συνάρτηση επαληθεύει την αρχική σχέση.

Φιλικά Χρήστος

Κλασική για μας , αλλά για τους μαθητές ;

Κλασική για μας , αλλά για τους μαθητές ;

Re: Κλασική για μας , αλλά για τους μαθητές ;

Re: Κλασική για μας , αλλά για τους μαθητές ;

Re: Κλασική για μας , αλλά για τους μαθητές ;

Μέλη σε σύνδεση