Ύπαρξη πραγματικού αριθμού

#1

Να εξεταστεί αν υπάρχει x > 0

ώστε ο

να είναι άρτιος για κάθε θετικό ακέραιο

.

(Ως συνήθως με [y]

συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού

.)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #2

Καλημέρα Δημήτρη.

Υπάρχει. Ορίζουμε αναδρομικά ακολουθία κιβωτισμένων διαστημάτων [a_n, b_n]

ως εξής:

Εστω ότι ισχύει a_n^n = k + 0.1, b_n^n = k + 0.9

για κάποιο $k \in \mathbb{N}$ με $k - n \in 2 \mathbb{Z}$ (συνθήκη sine qua non).

Τότε ισχύει $\displaystyle b_n^{n+1} - a_n^{n+1} = \left( b_n^n \right) ^{\frac{n+1}{n}} - \left( a_n^n \right) ^{\frac{n+1}{n}} \geq \frac{n+1}{n} a_n \left( b_n^n - a_n^n \right)$ (από ΘΜΤ) $\geq 4$ και μπορούμε να επιλέξουμε $a_{n+1}, b_{n+1}$ εντός του [a_n, b_n]

ώστε να ισχύει πάλι η συνθήκη sine qua non.

Το όριο της ακολουθίας των διαστημάτων μάς δίνει ένα κατάλληλο

.

Δημήτρης Σκουτέρης

Ύπαρξη πραγματικού αριθμού

Ύπαρξη πραγματικού αριθμού

Re: Ύπαρξη πραγματικού αριθμού

Μέλη σε σύνδεση