Τι θέλει να πει ο ποιητής;;

PanosG · #1

Έστω η συνεχής μη αρνητική συνάρτηση f για κάθε $x\in [0,1]$ για την οποία ισχύει:
$\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt \geq f(x)$ για κάθε $x\in [0,1]$
Και εδώ έρχεται το ερώτημα το οποίο δεν γνωρίζω τι σημαίνει. Αν κάποιος το ξέρει ας βοηθήσει. Το παραθέτω όπως το βρήκα στα αγγλικά.
Prove that f vanishes identically

mtsarduckas · #2

Αν δεν κάνω λάθος, ζητάει να δειχθεί ότι η f(x)

είναι ταυτοτικά μηδενική.

#3

…Να δούμε και την απάντηση….
Ισχύει αν $F(x)=\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}$ ότι $F(x)\ge {F}'(x)\Leftrightarrow ({{e}^{-x}}F(x){)}'\le 0$ άρα γία την $g(x)={{e}^{-x}}F(x)$ ισχύει ${g}'(x)\le 0,\,\,x\in [0,\,\,1]$

Τώρα στο $[0,\,\,x],\,\,0<x\le 1$ σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει $\xi \in (0,\,\,x)$ ώστε
${g}'(\xi )=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\le 0$ άρα $g(x)-g(0)\le 0\Leftrightarrow g(x)\le g(0)=0$

Το g(0)=0

γιατί

Άρα ${{e}^{-x}}F(x)\le 0,\,\,x\in (0,\,\,1]$ οπότε $F(x)\le 0,\,\,x\in (0,\,\,1]$ οπότε από

υπόθεση $f(x)\le F(x)\le 0,\,\,x\in (0,\,\,1]$ προκύπτει $f(x)\le 0,\,\,x\in (0,\,\,1]$

και εύκολα από $\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}\ge f(x)$ για x=0

$0\ge f(x)$ άρα $f(x)\le 0,\,\,x\in [0,\,\,1]$ και αφού από υπόθεση $f(x)\ge 0,\,\,x\in [0,\,\,1]$ είναι $f(x)=0,\,\,x\in [0,\,\,1]$

Φιλικότατα Βασίλης

Τι θέλει να πει ο ποιητής;;

Τι θέλει να πει ο ποιητής;;

Re: Τι θέλει να πει ο ποιητής;;

Re: Τι θέλει να πει ο ποιητής;;

Μέλη σε σύνδεση