Ανισότητα αλλά όχι με θετικούς !

#1

Αν

είναι πραγματικοί αριθμοί με x+y+z=1

, να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle \frac {x^3}{x^2+1} +\frac {y^3}{y^2+1} + \frac {z^3}{z^2+1}\geq \frac {1}{10}$

Μπάμπης
(Uni of Bilkent)

Σκοτίδας Σωτήριος · #2

Παραθέτω μια λύση με την μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange (Δεσμευμένα Ακρότατα)
Ονομάζουμε f(x,y,z)

το πρώτο μέλος της προς απόδειξη ανισότητας και $\displaystyle{$ \varphi (x,y,z) = x + y + z - 1 Θέτουμε }

$F(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda \varphi (x,y,z)$
με ${F_x} = \frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \frac{{{x^4} + 3{x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} + \lambda$
ανάλογα οι ${F_y}\,,\,\,{F_z}\,\,,\,\,\,{F_\lambda } = x + y + z - 1$

Λύνοντας το σύστημα $\left\{ {{F_x} = 0\,\,,\,\,{F_y} = 0\,\,,\,\,{F_z} = 0\,,\,\,{F_\lambda } = 0} \right\}$
και χρησιμοποιώντας ότι η συνάρτηση $h(x) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}$
είναι γνησίως αύξουσα, άρα και «1-1» βρίσκουμε $x = y = z = \frac{1}{3}\,\,,\,\,\,\lambda = \frac{7}{{225}}$

Δηλαδή $\left( {{x_0},{y_0},{z_0},{\lambda _0}} \right) = \left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{7}{{225}}} \right)$

Μετά από σύντομες σχετικά πράξεις (υπάρχουν ίδια νούμερα και κάποια μηδενικά), βρίσκουμε ότι οι τιμές των οριζουσών ${\Delta _1} = \left| \begin{array}{l} {F_{xx}}\,\,{F_{xy}}\,\,{F_{xz}}\,\,{\varphi _x} \\ {F_{yx}}\,\,{F_{yy}}\,\,{F_{yz}}\,\,{\varphi _y} \\ {F_{zx}}\,\,{F_{zy}}\,\,{F_{zz}}\,\,{\varphi _z} \\ {\varphi _x}\,\,\,{\varphi _y}\,\,\,{\varphi _z}\,\,0 \\ \end{array} \right|\,\,\,,\,\,\,\,\,{\Delta _2} = \left| \begin{array}{l} {F_{yy}}\,{F_{yz}}\,\,{\varphi _y} \\ {F_{zy}}\,\,{F_{zz}}\,\,{\varphi _z} \\ {\varphi _y}\,\,\,{\varphi _z}\,\,0 \\ \, \\ \end{array} \right|$
στην θέση $\left( {{x_0},{y_0},{z_0},{\lambda _0}} \right)$
είναι αρνητικές , (πιο συγκεκριμένα

$- 3{a^2}\,,\,\,\,\, - 2a$
αντίστοιχα με $a = \frac{{13 \cdot 81}}{{250}}$
) άρα η συνάρτηση

έχει ελάχιστο στην θέση $\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) = \left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right)$
, την τιμή $3 \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}}}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{{10}}$

Παναγιώτης 1729 · #3

Πολύ καλή άσκηση.
Δίχως βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $a\geq{b}\geq{c}$
H ανισότητα γράφεται ισοδύναμα (αφού $\frac{x^3}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}$ ):
$\frac{9}{10}\geq\sum\frac{x}{x^2+1}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(t)=\frac{t}{t^2+1}$ . Η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης στο $t_0=\frac{1}{3}$ είναι $g(t)=\frac{18t}{25}+\frac{3}{50}$ .

Η ανισότητα $g(t)\geq{f(t)}$ ισχύει για $t\geq{-\frac{3}{4}}$ .
Συνεπώς αν $c\geq{-\frac{3}{4}}$ , η ανισότητα ισχύει.

Έστω ότι $c<-\frac{3}{4}$ .

Τότε, αφού $0+\frac{1}{2}+\frac{a}{a^2+1}\geq{RHS}$ (διότι $f(c)<0, \frac{1}{2}\geq{f(b)}$ ), αν $\frac{2}{5}\geq{\frac{a}{a^2+1}}$ (ή ισοδύναμα $\frac{1}{2}\geq{a}$ , ή $a\geq{2}$ ), η ανισότητα ισχύει.

Μένει να εξεταστεί η περίπτωση $2>a,b>\frac{1}{2}$ .

Τότε έχουμε $-\frac{3}{4}>c>{-3}$ , άρα και
$f(c)<-\frac{3}{10}$ .

Συνεπώς:
$f(a)+f(b)+f(c)<2*\frac{1}{2}-\frac{3}{10}<\frac{9}{10}$

Ανισότητα αλλά όχι με θετικούς !

Ανισότητα αλλά όχι με θετικούς !

Re: Ανισότητα αλλά όχι με θετικούς !

Re: Ανισότητα αλλά όχι με θετικούς !

Μέλη σε σύνδεση