Ανακοίνωση και ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς.

[Αντώνης Ερασιτέχνης]

Στην προσπάθειά μου να βρω λύσεις στην σχέση α * β = γ και α + β = δ και γ + δ = Ζ (όπου α, β, γ, δ, Ζ ακέραιοι αριθμοί), δημιούργησα πίνακες μεταβλητών και πειραματίστηκα.

Κατά την διάρκεια των εργασιών, εντόπισα τα παρακάτω.:

Α) Όλοι οι περιττοί αριθμοί θα έχουν μια τετριμμένη λύση με τον αριθμό ένα (1) ως εξής.:
1*β = γ και 1+β = δ και γ + δ = 2ν+1 = Ζ

Β) Η σχέση 1*β = γ και 1+β = δ και γ + δ = Z, δεν ισχύει για άρτιους.

Γ) Βρίσκονται κάποιοι άρτιοι που είναι αδύνατον να γραφούν ως αποτέλεσμα της σχέσης α * β = γ και α + β = δ και γ + δ = Ζ, και αυτοί ακολουθούνται από πρώτους αριθμούς (όπου πρώτος αριθμός, κάθε περιττός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και την μονάδα). Δηλαδή για κάθε άρτιο Ψ που δεν εκπληρώνει την σχέση μας, παρατηρείται ότι Ψ + 1 = πρώτος αριθμός.

Δ) Στον πίνακα Α φαίνονται οι άρτιοι αριθμοί που εκπληρώνουν την σχέση α * β = γ και α + β = δ και γ + δ = Ζ.

Πίνακας Α
8...14...20...26...32
14...24...34...44...54
20...34...48...62...76
26...44...62...80...98

Στον πίνακα Β φαίνονται άρτιοι αριθμοί που δεν εκπληρώνουν την σχέση και προηγούνται των πρώτων αριθμών.

Πίνακας Β
10...12...16...18...22
28...30...36...40...42
46...52...58...60...66
70...72...78...82...89


Ερωτήσεις.:
1) Μπορούν ν’ αποδειχθούν τα παραπάνω, γιατί ως ερασιτέχνης αδυνατώ;
2) Μπορεί να βρεθεί τύπος εντοπισμού των αριθμών που βρίσκονται στον Β πίνακα;

[dement]

Καλημέρα και καλώς ήλθες.

Αν κατάλαβα καλά, σε ενδιαφέρουν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι μπορούν να γραφούν ως , με θετικούς ακεραίους. Δηλαδή, .

Πρέπει να βρεθεί θετικό τέτοιο ώστε το να διαιρεί το . Προφανώς αυτό δε μπορεί να γίνει αν ο είναι πρώτος. Αντίστροφα, αν ο είναι σύνθετος, τότε μπορεί να βρεθεί κατάλληλο . Από εκεί έπονται και τα περί άρτιων και περιττών.

Εν κατακλείδι, ναι σε όλα!

Δημήτρης Σκουτέρης

[Αντώνης Ερασιτέχνης]

Καλημέρα, ευχαριστώ για το καλωσόρισμα και για την απάντηση, να είστε όλοι καλά!

[Αντώνης Ερασιτέχνης]

Ερωτήσεις.:
1) Μπορούν ν’ αποδειχθούν τα παραπάνω, γιατί ως ερασιτέχνης αδυνατώ;
2) Μπορεί να βρεθεί τύπος εντοπισμού των αριθμών που βρίσκονται στον Β πίνακα;

Εν κατακλείδι, ναι σε όλα!

Αφού ναι, τότε μπορώ να έχω το (1) και (2) σε μια κατανοητή (για μένα) μορφή;

Προς διευκόλυνσή σας, δημιούργησα μεγαλύτερο πίνακα αριθμών που εκπληρώνουν την σχέση.
Όπως φαίνεται στο σχέδιο, οι γραμμές του πίνακα αυξάνονται ανά 6 ενώ οι στήλες ανά 10.
Η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη, αποτελούνται από τους ίδιους αριθμούς!


Σημείωση.: Αρκεί να έχουμε ως αφετηρία το 8 για να δημιουργήσουμε τον πίνακα.

[dement]

Καλημέρα και συγγνώμη - νόμιζα ότι ήμουν κατανοητός. Ας ξαναπροσπαθήσω.

1. Αν ο μπορεί να γραφεί ως 'άθροισμα + γινόμενο', δηλαδή , τότε ο (με άλγεβρα), δηλαδή ο διαιρεί τον . Αφού λοιπόν ο ειναι θετικός (εξαιρείται η περίπτωση που ο ) και ο επίσης θετικός (εξαιρείται η περίπτωση που ο ), αυτό σημαίνει ότι ο πρέπει να είναι σύνθετος.

Αντίστροφα, αν ο είναι σύνθετος, αρκεί να πάρουμε έναν οποιονδήποτε διαιρέτη του και να θέσουμε . Τότε έχουμε . Π.χ., για τον (που εκπληρώνει τη σχέση) παίρνουμε .

2. Ετσι, οι αριθμοί του 'πίνακα Β' (που δεν εκπληρώνουν τη σχέση) είναι ακριβώς οι κατά ένα μικρότεροι ενός πρώτου αριθμού ().

[Αντώνης Ερασιτέχνης]

Καλημέρα Δημήτρη!
Σ’ ευχαριστώ για τον κόπο και για τον χρόνο σου!