Ατζαμής μάστορας

KARKAR · #1

Τρίγωνο

έχει σταθερή γωνία

και εμβαδόν

.

Αποδείξτε ότι το τετράγωνο πλευράς

, έχει εμβαδόν τουλάχιστον : $\displaystyle 4\epsilon \phi \frac{A}{2}$

#2

Έχουμε

$\displaystyle{E=\frac{1}{2}bc\sin A}$ , άρα $\displaystyle{bc=\frac{2}{\sin A}.}$

Από τον νόμο των συνημιτόνων και την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\geq 2bc-2bc\cos A=2bc(1-\cos A)=\frac{4}{\sin A}\cdot 2\sin ^{2}\frac{A}{2}=\frac{4}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}\cdot 2\cdot \sin ^{2}\frac{A}{2}=4\tan \frac{A}{2}.}$

#3

Η άσκηση αυτή, σε συνδυασμό με την παραπάνω λύση, μου δίνει την αφορμή να κάνω μία αναφορά στην κλασική ανισότητα των Finsler-Hadwiger.

Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου $\displaystyle{E=\frac{1}{2}bc\sin A}$ και τον νόμο των συνημιτόνων λαμβάνουμε

$\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=(b^2+c^2-2bc)+2bc-2bc\cos A=(b-c)^2+2bc(1-\cos A)=(b-c)^2+\frac{4E}{\sin A}\cdot 2\sin ^{2}\frac{A}{2}=}$

$\displaystyle{=(b-c)^2+4E\frac{2\sin ^{2}\frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}=(b-c)^2+4E\tan \frac{A}{2}.}$

Γράφοντας τις ανάλογες σχέσεις για τα $\displaystyle{b^2,c^2}$ και προσθέτοντας, προκύπτει

$\displaystyle{\boxed{a^2+b^2+c^2=(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2+4E\Big(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\Big)}}$ (I)

Επίσης, ισχύει $\displaystyle{(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)}$ για όλους τους πραγματικούς $\displaystyle{x,y,z}$

και γνωρίζουμε (ή εν πάση περιπτώσει είναι εύκολο να αποδειχθεί) ότι

$\displaystyle{\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1,}$

οπότε, από την παραπάνω ανισότητα λμβάνουμε

$\displaystyle{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\geq \sqrt{3}}$ (αφού προφανώς $\displaystyle{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}>0}$ ).

Τότε από την (Ι) προκύπτει η ανισότητα Finsler-Hadwiger

$\displaystyle{\boxed{a^2+b^2+c^2\geq(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2+4E\sqrt{3}}}$

KARKAR · #4

Εγώ για ίχνη έψαχνα , όχι για λιοντάρι !

Ατζαμής μάστορας

Ατζαμής μάστορας

Re: Ατζαμής μάστορας

Re: Ατζαμής μάστορας

Re: Ατζαμής μάστορας

Μέλη σε σύνδεση