2 Ασκήσεις στο τριώνυμο: Εξίσωση, παραγοντοποίηση και πρόσημ

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Δύο ασκήσεις που προέκυψαν μέσα στην τάξη...

Άσκηση 1η
Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{A = 6{x^2} - x - 2,\,\,\,\,\,\,x \in R }$
α) Να λύσετε την εξίσωση Α = 0
β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α (σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων)
γ) Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Α
δ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: $\displaystyle{B = \frac{{6{x^2} - \left| x \right| - 2}}{{1 - 4{x^2}}},\,\,\,\,\,x \ne \pm \frac{1}{2}}$
ε) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\left| B \right| = 1}$

Άσκηση 2η
Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{A = {x^2} - x + 1,\,\,\,\,\,\,x \in R}$
α) Να λύσετε την εξίσωση Α = 0
β) Παραγοντοποιείται η παράσταση Α;
γ) Να αποδείξετε ότι: Α > 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{\left| A \right| + \left| {A + 1} \right| = A + 2}$
ε) Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{\sqrt {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}} > x + 4}$

είναι αφιερωμένες στον φίλο mathxl και στο Θωμά για διαφορετικούς λόγους.

Προφανής σημείωση: Προτείνω να τις δουν πρώτα οι μαθητές μας αλλά αν κάποιος του αρέσει η άσκηση είναι ελεύθερος να δώσει τις σκέψεις του με την προϋπόθεση ότι θα είναι αναλυτικά λυμένη και όχι παρακαλώ με υποδείξεις. Ευχαριστώ!

hlkampel · #2

Αφού πέρασαν αρκετές ημέρες και δεν απαντήθηκε, δίνω μια λύση.

Άσκηση 1η

α) ${\rm A} = 6{x^2} - x - 2$
$A = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - x - 2 = 0$
$\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma \Leftrightarrow \Delta = 1 + 48 = 49$
${x_{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt \Delta }}{{2\alpha }} \Rightarrow {x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {49} }}{{2 \cdot 6}} \Rightarrow {x_{1,2}} = \frac{{1 \pm 7}}{{12}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3} \\ {x_2} = \frac{{ - 6}}{{12}} = - \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

β) Με τις παραπάνω ρίζες η παράσταση Α γίνεται:
$A = 6\left( {x - \frac{2}{3}} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot 3\left( {x - \frac{2}{3}} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = \left( {3x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)$

γ) Με $x \ne \pm \frac{1}{2}$ είναι:
$\displaystyle{B = \frac{{6{x^2} - \left| x \right| - 2}}{{1 - 4{x^2}}} = \frac{{6{{\left| x \right|}^2} - \left| x \right| - 2}}{{1 - 4{{\left| x \right|}^2}}}\mathop = \limits^{\left( \beta \right)} \frac{{\left( {3\left| x \right| - 2} \right)\left( {2\left| x \right| + 1} \right)}}{{\left( {1 - 2\left| x \right|} \right)\left( {1 + 2\left| x \right|} \right)}} = \frac{{3\left| x \right| - 2}}{{1 - 2\left| x \right|}}}$

δ) Με $x \ne \pm \frac{1}{2}$ έχουμε:

$\left| {\rm B} \right| = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {3\left| x \right| - 2} \right|}}{{\left| {1 - 2\left| x \right|} \right|}} = 1 \Leftrightarrow \left| {3\left| x \right| - 2} \right| = \left| {1 - 2\left| x \right|} \right| \Leftrightarrow$
$\displaystyle{3\left| x \right| - 2 = 1 - 2\left| x \right|\quad \eta \quad 3\left| x \right| - 2 = - 1 + 2\left| x \right|}$
$\displaystyle{5\left| x \right| = 3\quad \eta \quad \left| x \right| = 1}$
$x = \pm \frac{3}{5}\quad \eta \quad x = \pm 1$
Που είναι δεκτές όλες

Υ.Γ. Έγινε διόρθωση στο ερώτημα δ. Έλυσα την εξίσωση που έπρεπε και όχι αυτή που μου άρεσε.

hlkampel · #3

Άσκηση 2η

α) Η εξίσωση $A = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0$ είναι αδύνατη στο R γιατί $\Delta = 1 - 4 = - 3 < 0$

β) Η παράσταση Α δεν παραγοντοποιείται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων επειδή $\Delta < 0$ , όμως η Α μπορεί να γίνει:
$\displaystyle{A = \alpha \left[ {{{\left( {x + \frac{\beta }{{2\alpha }}} \right)}^2} + \frac{{\left| \Delta \right|}}{{4{\alpha ^2}}}} \right] = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}}$ .
Δηλαδή η Α δεν παραγοντοποιείται.

γ) Επειδή $\Delta < 0$ και ο συντελεστή του ${x^2}$ είναι $\alpha = 1 > 0$ τότε είναι και ${\rm A} > 0$ για κάθε $x \in R$

δ) Είναι ${\rm A} > 0$ οπότε και ${\rm A} + 1 > 0$ , έτσι είναι:
$\left| A \right| + \left| {A + 1} \right| = A + 2 \Leftrightarrow A + A + 1 = A + 2 \Leftrightarrow A - 1 = 0 \Leftrightarrow$
${x^2} - x + 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\eta \;x = 1$

ε) $\sqrt {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}} > x + 1 \Leftrightarrow \sqrt {{A^2}} > x + 1 \Leftrightarrow \left| A \right| > x + 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{A > 0}$
${x^2} - x + 1 > x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) > 0$ οπότε x < 0

ή

Μάκης Χατζόπουλος · #4

hlkampel έγραψε:
δ) Με $x \ne \pm \frac{1}{2}$ έχουμε:

$B = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( \gamma \right)} \frac{{3\left| x \right| - 2}}{{1 - 2\left| x \right|}} = 1 \Leftrightarrow 3\left| x \right| - 2 = 1 - 2\left| x \right| \Leftrightarrow 5\left| x \right| = 3 \Leftrightarrow$
$\left| x \right| = \frac{3}{5} \Leftrightarrow x = \pm \frac{3}{5}$

Ηλία σε ευχαριστώ για την αναλυτική παρουσίαση όσο για την πρώτη και δεύτερη άσκηση.

Απλά πρόσεξε στο τελευταίο ερώτημα της άσκησης θέλω να επιλύσεις την εξίσωση όχι Β = 1 αλλά απόλυτο Β ίσον με 1. Οκ;

2 Ασκήσεις στο τριώνυμο: Εξίσωση, παραγοντοποίηση και πρόσημ

2 Ασκήσεις στο τριώνυμο: Εξίσωση, παραγοντοποίηση και πρόσημ

Re: 2 Ασκήσεις στο τριώνυμο: Εξίσωση, παραγοντοποίηση και πρ

Re: 2 Ασκήσεις στο τριώνυμο: Εξίσωση, παραγοντοποίηση και πρ

Re: 2 Ασκήσεις στο τριώνυμο: Εξίσωση, παραγοντοποίηση και πρ

Μέλη σε σύνδεση