4 ΘΕΜΑ-ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η f;

hsiodos · #1

Καλησπέρα
Προσπαθώ να βρώ αν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί δεδομένα και ζητούμενα του 4ου θέματος στα Μαθηματικά κατεύθυνσης. Με οδηγό το αρχικό δεδομένο (το ολοκλήρωμα που είναι μηδέν) και την βοήθεια του GeoGebra καταλήγω στο συμπέρασμα ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η f(x)=x^2-x

Είναι άραγε αυτή που είχε στο νου της η επιτροπή ή υπάρχει και άλλη;

Γιώργος

#2

Καλή σας μέρα
Λόγω υποχρεώσεων στο βαθμολογικό κέντρο δεν μπόρεσα να παρακολουθήσω τα δρώμενα στον ιστόχωρο μας. Βλέπω πολλά πράγματα και με περιμένει... αρκετό διάβασμα.
Επί του συγκεκριμένου: Το ερώτημα είναι εύλογο. Ψάχνοντας κατέληξα και εγώ ακριβώς στην ίδια συνάρτηση που αναφέρει ο Γιώργος. Ωστόσο είναι εύκολο να διαπιστώσει κάποιος ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιουν την δοθείσα σχέση.
Πράγματι αν

είναι οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση στο $\left[ 0,2\right]$ τότε ισχύει
$\int_{0}^{2}\left( t-2\right) \left( g\left( t\right) +k\right) dt=\allowbreak \allowbreak \int_{0}^{2}\left( t-2\right) g\left( t\right) dt+\int_{0}^{2}\left( t-2\right) kdt=\allowbreak \allowbreak \int_{0}^{2}\left( t-2\right) g\left( t\right) dt-2k$
επομένως επιλέγοντας $k=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left( t-2\right) g\left( t\right) \,dt$ έχουμε ότι $\int_{0}^{2}\left( t-2\right) \left( g\left( t\right) +k\right) dt=0$ .
'Αρα μεταφέροντας πάνω-κάτω μία οποιαδήποτε συνάρτηση μπορούμε να πετύχουμε να ικανοποιεί την υπόθεση της άσκησης. Οι συναρτήσεις

που έχουν την ιδιότητα $\int_{0}^{2}\left( t-2\right) f\left( t\right) dt=0$ , όπως εύκολα διαπιστώνεται, απαρτίζουν ένα διανυσματικό χώρο

. Η προηγούμενη παρατήρηση μας λέει ουσιαστικά ότι κάθε συνεχής συνάρτηση μπορεί να προκύψει ως άθροισμα μίας σταθερής συνάρτησης και μίας συνάρησης αυτού του χώρου. Αυτό γίνεται κατά μοναδικό τρόπο αφου η μόνη σταθερή συνάρτηση

που έχει την ιδιότητα $\int_{0}^{2}\left( t-2\right) f\left( t\right) dt$ είναι η 0. Συνεπώς ο χώρος

των συνεχών συναρτήσεων στο $\left[ 0,1\right]$ είναι ευθύ άθροισμα του χώρου

των σταθερών και του

δηλαδή $C=V\oplus K$ .
Μαυρογιάννης

#3

Εκτίμησή μου είναι πως δεν υπάρχει απολύτως κανείς περιορισμός στην μορφή της συνάρτησης f(x). Αρκεί να είναι συνεχής στο διάστημα [0 , 2] και το ολοκλήρωμα της (t-2)f(t) στο [0 , 2] να κάνει μηδέν (προφανώς είναι άπειρου πλήθους). Παράδειγμα : f(t)=t-2/3 ...

hsiodos · #4

Καλησπέρα
Σύμφωνα με την ανάλυση του Ν.Μαυρογιάννη(τον ευχαριστώ που ασχολήθηκε με το θέμα) υπάρχουν λοιπόν άπειρες συναρτήσεις f που ικανοποιούν την συνθήκη του θέματος.
Κατάλαβα ότι τις προσδιορίζουμε ως εξής.
Επιλέγουμε μια συνάρτηση g συνεχή στο [0 ,2].
Βρίσκουμε τον αριθμό $k=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left( t-2\right) g\left( t\right) \,dt$ και έτσι η συνάρτησή μας είναι η f(x) = g(x) + k

(1) αν επιλέξουμε g(x) = x τότε $k=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left( t-2\right) g\left( t\right) \,dt$ \displaystyle{=-\frac{2}{3}

f(x)=x-\frac{2}{3} , δηλαδή η συνάρτηση που έχει δοθεί σαν παράδειγμα στο προηγούμενο μήνυμα.

(2) αν επιλέξουμε

g(x)=x^2-x+1

k=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left( t-2\right) g\left( t\right) \,dt} =-1

οπότε

, δηλαδή η συνάρτηση που έχω δώσει σαν παράδειγμα στο αρχικό μου μήνυμα.

(3) στην περίπτωση που επιλέξουμε g σταθερή π.χ g(x) = c τότε $k=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left( t-2\right) g\left( t\right) \,dt$ =-c

οπότε f(x) = 0 .

Γιώργος

4 ΘΕΜΑ-ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η f;

4 ΘΕΜΑ-ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η f;

Re: 4 ΘΕΜΑ-ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η f;

Re: 4 ΘΕΜΑ-ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η f;

Re: 4 ΘΕΜΑ-ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η f;

Μέλη σε σύνδεση