Συνέχεια - παραγωγισιμότητα σε σημείο

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R }$ , για την οποία ισχύει: $\displaystyle{ f\left( x \right) \cdot e^{f\left( x \right)} = x }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0, + \infty } \right) }$ .

Να αποδείξετε ότι:

i) $\displaystyle{ 0 \leqslant f\left( x \right) \leqslant x }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0, + \infty } \right) }$

ii) Η f είναι συνεχής στο 0

iii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

iv) Η f είναι γνησίως αύξουσα

v) $\displaystyle{ \int\limits_0^1 {\frac{1} {{1 + f\left( x \right)}}dx} = e^{f\left( 1 \right)} - 1 }$ αν επί πλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \left[ {0, + \infty } \right) }$

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

#2

...καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα....πάντα θα υπάρχει ένα ωραίο θέμα γιά απασχόληση...πάμε

i) Επειδή $x\ge 0$ προφανώς από την ισότητα $f(x){{e}^{f(x)}}=x$ είναι $f(x)\ge 0$ και αν υπάρχει ${{x}_{0}}>0$ ώστε $f({{x}_{0}})>{{x}_{0}}$ τότε επειδή και ${{e}^{f({{x}_{0}})}}>{{e}^{{{x}_{0}}}}>1$

προκύπτει με πολλαπλασιασμό κατά μέλη $f({{x}_{0}}){{e}^{f({{x}_{0}})}}>{{x}_{0}}$ ή ${{x}_{0}}>{{x}_{0}}$ που είναι άτοπο άρα $f(x)\le x,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ και επειδή για x=0

λόγω της

υπόθεσης $f(x){{e}^{f(x)}}=x$ προκύπτει f(0)=0

άρα $f(x)\le x,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$

ii) Από κριτήριο παρεμβολής στην $0\le f(x)\le x$ ισχύει $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0=f(0)$ άρα

συνεχής στο ${{x}_{0}}=0$

iii) Είναι ${f}'(0)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}$ και λόγω υπόθεσης έχουμε ${f}'(0)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{f(x){{e}^{f(x)}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{f(x)}}}=\frac{1}{{{e}^{f(0)}}}=1$ το

τελευταίο όριο υπάρχει λόγω συνέχειας της

στο ${{x}_{0}}=0$

iv) Αν $g(x)=x{{e}^{x}},\,\,x\in R$ επειδή ${g}'(x)={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}>0,\,\,\,\,x>0$ η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,+\infty )$ και αφού g(f(x))=x

με $0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

ισχύει $g(f({{x}_{1}}))<g(f({{x}_{2}}))$ άρα και $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ που σημαίνει

γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,+\infty )$

v) Επειδή

παραγωγίσιμη παραγωγίζοντας την αρχική σχέση προκύπτει ${f}'(x){{e}^{f(x)}}+f(x){{e}^{f(x)}}{f}'(x)=1\Leftrightarrow {{e}^{f(x)}}{f}'(x)(1+f(x))=1\ne 0$ άρα

${{e}^{f(x)}}{f}'(x)=\frac{1}{1+f(x)}$ οπότε $\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+f(x)}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{f(x)}}{f}'(x)dx}}=[{{e}^{f(x)}}]_{0}^{1}={{e}^{f(1)}}-1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Βασίλη σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου

Μου αρέσει ο άρτιος τρόπος που γράφεις

Οταν έβαζα το θέμα έλεγα μέσα μου : πού είσαι Βασίλη

Να σου πώ και την αλήθεια επειδή ξέρω την ώρα που βγαίνεις συνήθως (μαζί με τα φαντάσματα) και ξέρω πόσο σου αρέσει η ανάλυση

(δηλαδή όπως λέω και εγώ η γεωμετρία των συναρτήσεων) για αυτό θα προσπαθήσω να έχω κάτι καλό να "τρώς" κάθε βράδυ

Σε ευχαριστώ και πάλι

Φιλικά και Μαθηματικά (Αναλυτικά όπως λές και εσύ)
Είσαι υπέροχος

Στάθης

Συνέχεια - παραγωγισιμότητα σε σημείο

Συνέχεια - παραγωγισιμότητα σε σημείο

Re: Συνέχεια - παραγωγισιμότητα σε σημείο

Re: Συνέχεια - παραγωγισιμότητα σε σημείο

Μέλη σε σύνδεση