mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 22, 2011 7:24 pm**

Αγαπητοί φίλοι

Συλλέγοντας πληροφορίες από τις απίστευτες αποδείξεις που έχουν δοθεί εδώ στο Forum από τους (Νίκο – Κώστα – τον ασύλληπτο Σωτήρη (που «ξεβιδώνει τα σχήματα») –Σεραφείμ – Μιχάλη και τόσους άλλους αξιόλογους συναδέλφους (Γεωμέτρες)). Υ.Σ. (Η σειρά είναι εντελώς τυχαία) και παίρνοντας αφορμή από το θέμα που έδειξε ο Σωτήρης που είχε βάλει ο Μιχάλης (και εγώ αλλά το ξέχασα τελικά γιατί μπλέχτηκα με άλλα θέματα (το …γνωρίζετε) θα ήθελα να βάλω μερικές προεκτάσεις του θέματος αυτού (που έδειξε ο Σωτήρης) και να ομολογήσω ότι ακόμη δεν έχω για όλα τα ερωτήματα λύσεις (ελπίζω και στη βοήθειά σας)

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο $\displaystyle{ {\rm A}{\rm B}\Gamma }$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{ \left( {\rm O} \right) }$ και $\displaystyle{ {\rm N} }$ το σημείο του Nagel.

Έστω $\displaystyle{ AH_\alpha ,{\rm B}{\rm H}_\beta ,\Gamma {\rm H}_\gamma }$ τα ύψη του και $\displaystyle{ H }$ το ορθόκεντρό του.

Έστω επίσης $\displaystyle{ K_\alpha ,K_\beta ,K_\gamma }$ τα μέσα των τόξων $\displaystyle{ \tau o\xi .{\rm B}\Gamma ,\tau o\xi .\Gamma {\rm A},\tau o\xi .{\rm A}{\rm B} }$ αντίστοιχα στα οποία δεν περιέχεται η άλλη κορυφή του τριγώνου.

Αν $\displaystyle{ K'_\alpha ,K'_\beta ,K'_\gamma }$ είναι τα συμμετρικά των $\displaystyle{ K_\alpha ,K_\beta ,K_\gamma }$ ως προς τις πλευρές $\displaystyle{ {\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B} }$ αντίστοιχα τότε:
(Να θυμίσω ότι ο Σωτήρης έχει ήδη δείξει ότι: τα σημεία $\displaystyle{ K'_\alpha ,K'_\beta ,K'_\gamma ,{\rm H} }$ είναι ομοκυκλικά)

i) Να δειχθεί ότι οι ευθείες $\displaystyle{ NK'_\alpha ,\;NK'_\beta ,\;NK'_\gamma \; }$ είναι παράλληλες προς τις διχοτόμους $\displaystyle{ {\rm A}{\rm K}_\alpha ,{\rm B}{\rm K}_\beta ,\Gamma {\rm K}_\gamma }$ αντίστοιχα

ii) Αν $\displaystyle{ {\rm N}'_\alpha ,{\rm N}'_\beta ,{\rm N}'_\gamma }$ είναι οι προβολές του σημείου $\displaystyle{ {\rm N} }$ (Nagel) στα ύψη $\displaystyle{ AH_\alpha ,{\rm B}{\rm H}_\beta ,\Gamma {\rm H}_\gamma }$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι τα (8) σημεία $\displaystyle{ {\rm H},{\rm N},K'_\alpha ,K'_\beta ,K'_\gamma ,{\rm N}'_\alpha ,{\rm N}'_\beta ,{\rm N}'_\gamma }$ είναι ομοκυκλικά και το κέντρο του κύκλου (είναι βέβαιο προφανές αυτό) είναι το μέσο του τμήματος $\displaystyle{ {\rm N}{\rm H} }$

iii) Οι ευθείες $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _\alpha } \right) \to {\rm K{'}_\alpha {\rm N{'}_\alpha ,\quad \left( {\varepsilon _\beta } \right) \to {\rm K{'}_\beta {\rm N{'}_\beta ,\quad \left( {\varepsilon _\gamma } \right) \to {\rm K{'}_\gamma {\rm N{'}_\gamma }$ διέρχονται από το έγκεντρο $\displaystyle{ {\rm I} }$ του τριγώνου $\displaystyle{ {\rm A}{\rm B}\Gamma }$

Σας ευχαριστώ όλους

ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΧΕΣ

Στάθης Κούτρας

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 15, 2011 4:13 pm**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathematica.gr

Οκτώ (8)!!! ομοκυκλικά και όχι μόνο!!

Οκτώ (8)!!! ομοκυκλικά και όχι μόνο!!

Re: Οκτώ (8)!!! ομοκυκλικά και όχι μόνο!!