Συναρτησιακή 149

#1

Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{f(x+y)=min\{f(x),f(f(y))\}+max\{f(f(x)),f(y)\}, \forall x,y \in \mathbb{Q}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Όμορφη άσκηση! Λοιπόν για x=y=0

παίρνουμε

οπότε

Θέτοντας a=f(0) και βάζοντας στην αρχική x=a,y=0

παίρνουμε

.
Για y=0 στην αρχική παίρνουμε $f(x)=\min\{0,f(x)\}+\max\{0,f(f(x))\}$ και για x=0 στην αρχική παίρνουμε $f(x)=\max\{0,f(x)\}+\min\{0,f(f(x))\}$ .
Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες λαμβάνουμε f(x)=f(f(x)). Αντικαθιστώντας στην αρχική παίρνουμε
f(x+y)=f(x)+f(y) η οποία είναι Cauchy και αφού είμαστε στους ρητους έχουμε ότι f(x)=cx. Αντικαθιστώντας στην αρχική παίρνουμε c=0 ή c=1.

userresu · #3

Για x=y=0 παίρνουμε $f(0)=f(0)+f(f(0)) \Rightarrow f(f(0))=0$ . Βάζοντας ανάποδα τα x και y, ισχύει $min\{f(x),f(f(y))\}+max\{f(f(x)),f(y)\}=min\{f(y),f(f(x))\}+max\{f(f(y)),f(x)\}$ $\Rightarrow |f(x)-f(f(y))|=|f(f(x))-f(y)|$ (1)
Επίσης για y=0, $f(x)=min\{f(x),0\}+max\{f(f(x)),f(0)\}$ .
Έστω x τέτοιο ώστε f(x)=0. Τότε $0=0+max\{f(0),f(0)\}$ , άρα f(0)=0

. Οπότε $f(x)=min\{f(x),0\}+max\{f(f(x)),0\}$ (2)
Για y=0 η (1) δίνει |f(x)|=|f(f(x))|

(3)
Έστω ότι η f παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές, x τέτοιο ώστε f(x)<0 και y τέτοιο ώστε f(y)>0. Τότε το f(f(x)) δεν μπορεί να είναι θετικό, αφού από την (2) καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα θα είναι f(f(x))=f(x)

, λόγω της (3). Τώρα από την (1), f(x)-f(f(y))=f(x)-f(y)

ή

. Η πρώτη δίνει f(y)=f(f(y))

, ενώ η δεύτερη f(y)+f(f(y))=2f(x)

, το οποίο είναι άτοπο, αφού $f(y)+f(f(y))\in \{0,2f(y)\}$ , ενώ f(x)<0

. Άρα τελικά f(x)=f(f(x))

για κάθε x και η δοθείσα γίνεται f(x+y)=f(x)+f(y)

, που είναι Cauchy και λόγω του ότι δουλεύουμε στους ρητούς και f(f(x))=f(x)

,

για κάθε x ή f(x)=0

για κάθε x. Αντικαθιστούμε, επαληθεύουν και οι 2 τη δοθείσα άρα είναι δεκτές.
Αν η f παίρνει μόνο θετικές ή αρνητικές τιμές, λαμβάνουμε κατευθείαν ότι f(x)=f(f(x))

και καταλήγουμε στα ίδια με πάνω.

Too slow

Συναρτησιακή 149

Συναρτησιακή 149

Re: Συναρτησιακή 149

Re: Συναρτησιακή 149

Μέλη σε σύνδεση