Ορίζουσα!

#1

Έστω τρίγωνο με γωνίες $\displaystyle{A,B,C.}$
Να αποδειχθεί, ότι

$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\sin A&\cot \frac{A}{2}\\ \\ {1}&{\sin B}&{\cot \frac{B}{2}}\\ \\ {{{1}&{\sin C}&{\cot \frac{C}{2}} \end{array}} \right|=0}$ .

#2

Mία προσπάθεια επίλυσης στην άσκηση του Θάνου.
Αν το τρίγωνο τολμήσει να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο, τότε το ζητούμενο ισχύει
(αφού δύο τουλάχιστον γραμμές της ορίζουσας είναι ίδιες).
Ας είναι λοιπόν σκαληνό το τριγωνάκι.
Τότε αρκεί να ισχύει(βάζοντας και νόμο ημιτόνων μέσα και κάποιες ιδιότητες οριζουσών):
$\displaystyle{ \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & {\frac{a}{{2R}}} & {\cot \frac{A}{2}} \\ 1 & {\frac{b}{{2R}}} & {\cot \frac{B}{2}} \\ 1 & {\frac{c}{{2R}}} & {\cot \frac{C}{2}} \\ \end{array}} \right| = 0 \Leftarrow \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & a & {\cot \frac{A}{2}} \\ 1 & b & {\cot \frac{B}{2}} \\ 1 & c & {\cot \frac{C}{2}} \\ \end{array}} \right| = 0 \Leftarrow \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & a & {\cot \frac{A}{2}} \\ 0 & {b - a} & {\cot \frac{B}{2} - \cot \frac{A}{2}} \\ 0 & {c - a} & {\cot \frac{C}{2} - \cot \frac{A}{2}} \\ \end{array}} \right| = 0 }$
Αρκεί:
$\displaystyle{ (b - a)(\cot \frac{C}{2} - \cot \frac{A}{2}) = (c - a)(\cot \frac{B}{2} - \cot \frac{A}{2}) \Leftarrow \frac{{b - a}}{{c - a}} = \frac{{\cot \frac{B}{2} - \cot \frac{A}{2}}}{{\cot \frac{C}{2} - \cot \frac{A}{2}}} }$
Τώρα η τελευταία μου σχέση ισχύει
(έχει το όνομα κάποιου Ολλανδού,το οποίο μου διαφεύγει αυτήν τη στιγμή-Όχι Κρόϊφ πάντως) και θα το αποδείξω...
Έχω:
$\displaystyle{ \frac{{b - a}}{{c - a}} = \frac{{2R(\sin B - \sin A)}}{{2R(\sin C - \sin A)}} = \frac{{2\sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2}}}{{2\sin \frac{{C - A}}{2}\cos \frac{{C + A}}{2}}} }}} =\frac{{\sin \frac{{B - A}}{2}\sin \frac{{C}}{2}}}{{\sin \frac{{C - A}}{2}\sin \frac{{B}}{2}}} }}}}$
και
$\displaystyle{ \frac{{\cot \frac{B}{2} - \cot \frac{A}{2}}}{{\cot \frac{C}{2} - \cot \frac{A}{2}}} = \frac{{\frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}}}{{\frac{{\cos \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}}}}} = \frac{{\sin \frac{{A - B}}{2}\sin \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{{A - C}}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{{B - A}}{2}\sin \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{{C - A}}{2}\sin \frac{B}{2}}} }$
(Ωχ,τσίκνωσε το φαγητό σας χαιρετώ!)

#3

Έστω $\displaystyle{D}$ η δοσμένη ορίζουσα. Τότε, είναι

$\displaystyle{D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\sin A}&{\cot \frac{A}{2}}\\ 0&{\sin B - \sin A}&{\cot \frac{B}{2} - \cot \frac{A}{2}}\\ 0&{\sin C - \sin A}&{\cot \frac{C}{2} - \cot \frac{A}{2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin B - \sin A}&{\cot \frac{B}{2} - \cot \frac{A}{2}}\\ {\sin C - \sin A}&{\cot \frac{C}{2} - \cot \frac{A}{2}} \end{array}} \right| = }$

$\displaystyle{ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2\sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2}}&{\frac{{\sin \frac{{B - A}}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}}\\ {2\sin \frac{{C - A}}{2}\cos \frac{{C + A}}{2}}&{\frac{{\sin \frac{{C - A}}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}}}} \end{array}} \right| = 2\sin \frac{{B - A}}{2}\sin \frac{{C - A}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \frac{C}{2}}&{\frac{1}{{\sin \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}}\\ {\sin \frac{B}{2}}&{\frac{1}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}}}} \end{array}} \right| = }$

$\displaystyle{ = 2\sin \frac{{B - A}}{2}\sin \frac{{C - A}}{2} {\frac{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}} = 0.}$

* Με πρόλαβε ο Χρήστος! Τουλάχιστον να μη χαθεί το φαγητό...

**Ο "Ολλανδός" είναι o Γερμανός (!) Karl Mollweide - βλέπε εδώ.

#4

Μετά τις απαντήσεις του Χρήστου και του Βαγγέλη, τους οποίους ευχαριστώ, ας παρατηρήσουμε, ότι η σχέση που αποδείξαμε, συνεπάγεται τη γραμμική εξάρτηση των στηλών της ορίζουσας. Πράγμα, το οποίο μας οδηγεί κατευθείαν εδώ.

#5

Είδες όταν σου τσικνώσει ο αρακάς;
Ο Γερμανός γίνεται Ολλανδός!
Ευχαριστώ Βαγγέλη.

Νασιούλας Αντώνης · #6

chris_gatos έγραψε:Είδες όταν σου τσικνώσει ο αρακάς;
Ο Γερμανός γίνεται Ολλανδός!
Ευχαριστώ Βαγγέλη.

Κύριε Χρήστο,

επιβεβαιώνεται ότι και στα μαθηματικά στο τέλος κερδίζουν οι Γερμανοί -όπως είχε πει ο Γκάρι Λίνεκερ

!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορίζουσα!

Ορίζουσα!

Re: Ορίζουσα!

Re: Ορίζουσα!

Re: Ορίζουσα!

Re: Ορίζουσα!

Re: Ορίζουσα!

Μέλη σε σύνδεση