ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Προτείνω την άσκηση 53 από το αρχείο του Θάνου Μάγκου
Έστω τρίγωνο ABC. Αποδείξτε ότι
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq 4-\frac{2r}{R}$ .

kwstas12345 · #2

Είναι: $\displaystyle \frac{2r}{R}=\frac{2E}{s}\cdot\frac{4E}{abc}=\frac{\displaystyle{\prod{\left(-a+b+c \right)}}}{abc}$ , αρκεί λοιπόν: $\displaystyle \sum{a^3}+\prod{\left(-a+b+c \right)}\geqslant 4abc$ .

Όμως $\displaystyle \sum{a^3}+\prod{\left(-a+b+c \right)}=a^2b+b^c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2-2abc$ αρκεί λοιπόν $\displaystyle a^2b+b^c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\geqslant 6abc$ το οπoίο ισχύει από ΑΜ-ΓΜ αφού: $\displaystyle a^2b+b^c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\geqslant 6\sqrt[6]{a^6 b^6c^6}=6abc$ .

Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c

δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Μία λύση είναι η εξής:

$\displaystyle\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq 4-\frac{2r}{R}\Leftrightarrow \frac{2s\left ( s^{2}-3r^{2}-6Rr \right )}{4srR}\geq 4-\frac{2r}{R}\Leftrightarrow$

$s^{2}-3r^{2}-6Rr\geq 8Rr-4r^{2}\Leftrightarrow s^{2}\geq 14Rr-r^{2}$

Aν αποδειχθεί η τελευταία ανισότητα, ολοκληρώθηκε η απόδειξη...

Είναι γνωστό ότι $s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}$

Θα αποδειχθεί ότι $16Rr-5r^{2}\geq 14Rr -r^{2}$

H τελευταία ανισότητα είναι ισοδύναμη της πασίγνωστης $R\geq 2r.$

Άρα αποδείχθηκε ότι $s^{2}\geq 14Rr-r^{2}$ και έτσι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει.

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 6

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 6

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 6

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 6

Μέλη σε σύνδεση