Συνθήκη ολοκληρωσιμότητας

#1

Έστω $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχείς συναρτήσεις και η $h:\mathbb R\to\mathbb R$ με $h(x):=\begin{cases}f(x), & x\in\mathbb Q \\ g(x), & x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ . Δείξτε ότι η

είναι ολοκληρώσιμη σε κάποιο $[a,b]\subset \mathbb R$ αν και μόνο αν f(x)=g(x)

για κάθε $x\in[a,b]$ .

alex_eske · #2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχείς συναρτήσεις και η $h:\mathbb R\to\mathbb R$ με $h(x):=\begin{cases}f(x), & x\in\mathbb Q \\ g(x), & x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ . Δείξτε ότι η είναι ολοκληρώσιμη σε κάποιο $[a,b]\subset \mathbb R$ αν και μόνο αν για κάθε $x\in[a,b]$ .

Η μια κατεύθυνση είναι προφανής. Για την άλλη:

Έστω ότι υπάρχει x_0

στο

ώστε όχι

. Ας είναι a<x_0<b

. Τότε από την συνέχεια των f, g

υπάρχει d>0 ώστε f(x)

διάφορο του g(x)

για κάθε x στο I=(x_0-d,x_0+d)

.
Τότε

ασυνεχής στο I:
Για x στο Ι θεωρώ ακολουθίες (q_n) (r_n)

στους ρητούς και τους αρρήτους αντίστοιχα που συγκλίνουν στο x. Τότε $h(q_n) \rightarrow f(x) , h(r_n) \rightarrow g(x)$ και f(x), g(x) όχι ίσα.
Άρα $I \subset D(h)$ , όπου D(h) το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της h και μ(Ι)=2δ>0. Άρα μ(D(h))>0, δηλ. h όχι ολοκληρώσιμη στο [a,b] (το D(h) έχει θετικό μέτρο). άτοπο

Συγνώμη για τα πιθανά λάθη στο Latex. Πρώτο μου post.

#3

Ωραίος! Η λύση όμως χρησιμοποιεί το θεώρημα του χαρακτηρισμού των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων μέσω του μέτρου του συνόλου των σημείων ασυνέχειάς τους, που είναι αρκετά βαρύ.

Αν θέλεις προσπάθησε το και με τον ορισμό.

alex_eske · #4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ωραίος! Η λύση όμως χρησιμοποιεί το θεώρημα του χαρακτηρισμού των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων μέσω του μέτρου του συνόλου των σημείων ασυνέχειάς τους, που είναι αρκετά βαρύ.

Αν θέλεις προσπάθησε το και με τον ορισμό.

Και χωρίς μέτρο: (ελπίζω να μην ξέφυγε τίποτα)

Αν υπάρχει το παραπάνω x_0

ας υποτεθεί ότι f(x_0)>g(x_0)

. Τότε υπάρχει πάλι $I=[c,f] \subset [a,b]$ ώστε f(x)>g(x) + d

στο Ι για κάποιο d>0. Αν h oλοκληρώσιμη στο [a,b] τότε h ολοκληρώσιμη και στο Ι, άρα από Κριτήριο Riemann υπάρχει ακολουθία διαμερίσεων (P_n)

του Ι ώστε $U(h,P_n)-L(h,P_n) \rightarrow 0$ . Όμως $U(h,P_n)-L(h,P_n) >= \sum_{k=0}^{k_n} (f(x_k)-g(x_k))(x_{k+1}-x_k) > d(f-c) >0$ για κάθε n, όπου $P_n={x_0(n)<x_1(n)<...<x_{k_n}(n)}$ . άτοπο.

Συνθήκη ολοκληρωσιμότητας

Συνθήκη ολοκληρωσιμότητας

Re: Συνθήκη ολοκληρωσιμότητας

Re: Συνθήκη ολοκληρωσιμότητας

Re: Συνθήκη ολοκληρωσιμότητας

Μέλη σε σύνδεση